潘建丽，朱玉灿

（福州大学数学与计算机科学学院，福建 福州 350116）

0 引言

为研究非调和傅里叶级数的某些问题，Duffin和Schaeff er［1］于1952年引入了Hil bert空间中的框架，但当时并没有引起人们的重视．直到1986年，Daubechies，Gross mann和Meyer［2］对框架进行重新研究，并展现了框架在数据处理中的重要性．不管是在数学理论上，还是在实际应用中框架都有着重要的应用，如信号和图像处理、信号采样、数字通讯等领域．

由于框架在实际问题中的应用大部分都表现在有限维向量空间中，因此，国内外有许多学者对有限维框架进行一些深入、系统的研究［3－4］．Casazza，Rolli等对有限维Hil bert空间中框架、紧框架的构造进行研究［5－10］．框架是标准正交基的推广，它的向量组是线性相关的，即框架具有冗余性．正是框架的冗余性，使得框架有着重要的应用．框架的冗余性具有两个优点：灵活性和鲁棒性．灵活性允许它构造一个框架来适应一个特定的问题．鲁棒性，即在传播信息时，丢失的信息可以得到还原，还可以减轻信号中噪声的影响．紧框架比一般框架具有更简单的算法和重构公式等，这使得紧框架更有效用．因此，如何根据具体问题构造相应的紧框架显得特别重要．Casszza和Puschel分别在文献［5－6］中提到了有关构造紧框架的方法．但是，其结论和证明存在问题．

本文主要对文献［5－6］进行讨论并指出其存在的问题，通过对文献［5－6］中存在的问题进行一些处理，得到Cn的最大鲁棒性擦除的等模、实紧框架．

本文都采用如下的记号：

设m，n，k为正整数，Hn表示n维复（或实）的Hil bert空间；Mm，k表示m×k矩阵的全体；Mm表示m阶方阵的全体；记In为n阶单位矩阵，矩阵Jn是矩阵In中所有列的倒序的矩阵；矩阵A＊表示矩阵A的共轭转置矩阵；用M［I］表示由矩阵M中下标在集合I中的所有列组成的矩阵，其中I⊂｛0，1，…，m－1｝．Cn表示n维复向量空间，Rn表示n维实向量空间，Cn和Rn中的向量都看作行向量．

定义1 向量组｛fk｝km1⊂Hn称为Hn的框架，如果存在正数A，B，使对任意f∈Hn，有＝

成立．A，B分别称为框架的下界，上界．若A＝B，则称｛fk｝km＝1为Hn的紧框架．若存在a＞0，使得fk＝a，（k＝1，…，m），则称｛fkm｝k＝1为 Hn的等模框架．

定义2 设｛fk｝km1是Hn中的框架，若对任意指标集I⊆｛1，2，…，m｝，＝r，向量组｛fk｝k∈IC仍是Hn的框架，则称框架｛fk｝km＝1具有r擦除鲁棒性．特别地，若对任意指标集J⊆｛1，2，…，m｝，＝m－n，向量组｛fk｝k∈JC仍是Hn的框架，则称框架｛fk｝km＝1为最大鲁棒性擦除框架．

由上面表达式可知：在Cn的标准正交基｛εk｝nk＝1和Cm的标准正交基｛ek｝km＝1下，框架F＝ ｛fk｝km＝1的预框架算子TF和合成算子TF＊对应的矩阵分别为m×n矩阵和n×m矩阵，即

框架算子为矩阵S＝TF＊TF．

引理1［3］框架F ＝ ｛fk｝km＝1是Cn的紧框架当且仅当TF＊TF＝a In，常数a≠0．

引理2［6］设Hn中的框架F ＝ ｛fk｝km＝1的预框架算子的对应矩阵为TF，假设下面所有矩阵的乘积有意义．

1）如果F为Hn的最大鲁棒性擦除框架，那么对任意可逆对角矩阵D和任意可逆矩阵U，矩阵DTFU的行向量组成的向量组为Hn的最大鲁棒性擦除框架．

2）如果F为Hn的紧框架，那么对任意的酉矩阵U，V和常数a≠0，矩阵a UTFV的行向量组成的向量组为Hn的紧框架．

3）如果F为Hn的等模框架，那么对任意对角酉矩阵D，酉矩阵U和常数a≠0，矩阵a DTFU的行向量组成的向量组为Hn的等模框架．

引理3［6］设m≥n，那么矩阵T＝（DFTm）［0，1，…，n－1］的行向量所构成的向量组是Cn的最大鲁棒性擦除的等模、紧框架，其中DFTm＝［ωkl］∈Mm，ω＝．

注 下面引理为文献［6］中的引理6，但其证明过程存在问题，我们重新处理．

引理4［6］设m≥n，则矩阵F＝ （DFTm）［0，1，…，n－k－1，m－k，…，m－1］的行向量构成的向量组是Cn的最大鲁棒性擦除的等模、紧框架，其中矩阵DFTm＝［ωkl］∈Mm，ω＝．

其中：Dm为m阶对角方阵，且Dm＝diag（ 1，ω－1，…，ω－（m－1））．因为：

而Dkm为对角酉矩阵，Zn－km为酉矩阵，由引理2和引理3知矩阵F的行向量构成的向量组是Cn的最大鲁棒性擦除的等模、紧框架．

1 问题的提出

我们知道，从离散傅里叶变换DFTm＝［ωkl］∈Mm，ω＝中任取n列所构成的新矩阵，以新矩阵的行构成的向量组是Cn的一个框架．文献［5－6］中提出将新矩阵与一个酉矩阵作乘积之后，可以得到Cn的一个实框架，但作者在证明过程中存在一些问题．

文献［6］中给出如下结论：

通过验证得到：

1）矩阵（DFTm）［0，1，…，k，m－k，m－k＋1，…，m－1］Un≠ ［P，Q］；

2）矩阵（DFTm）［0，1，…，k，m－k，m－k＋1，…，m－1］Un的行向量构成的向量组不是Cn的紧框架；

3）矩阵［P，Q］的行向量构成的向量组也不是Cn的紧框架．

事实上，考虑特殊情况，取m＝4，k＝1，则n＝3．

1）直接计算得到，矩阵

即取m＝4，k＝1，n＝3，有：（DFTm）［0，1，…，k，m－k，m－k＋1，…，m－1］Un≠ ［P，Q］．

定理2［5］令1≤k≤和n＝2k，那么矩阵的行向量构成的向量组是Cn的最大鲁棒性擦除的等模、实紧框架，其中矩阵

1）矩阵 ［0，1，…，k－1，m－k，m－k＋1，…，m－1］Vn≠ ［A，B］；

3）矩阵［A，B］的行向量构成的向量组不是Cn的紧框架．

2 主要结论

针对前面的问题重新处理给出相应正确的结论，即本文的主要结论．

证明 记矩阵

当0≤p≤m－1，q＝0时，apq＝×1 ＝．当0≤p≤m－1，1≤q≤k时，

当0≤p≤m－1，k＋1≤q≤2k时，

从而矩阵

其中：ET＝ （1，…，1）∈Rm．

由引理4知，矩阵（DFTm）［0，1，…，k，m－k，m－k＋1…，m－1］的行向量构成的向量组是Cn的最大鲁棒性擦除的等模、紧框架．因为Un是酉矩阵，由引理2可知，｛fk｝km＝－10为Cn的最大鲁棒性擦除的等模、实紧框架．

由于向量组｛fk｝km＝－10是实的向量组，根据框架的定义，得到｛fk｝km＝－10也是Rn的最大鲁棒性擦除的等模、紧框架．

证明 记矩阵

当0≤p≤m－1，1≤q≤k时，

当0≤p≤m－1，k＋1≤q≤2k时，

从而有

因为矩阵

其中：Λ为m阶对角酉矩阵，且Λ＝diag ［1，eimπ，ei2mπ，…，ei（m－m1）π］，从而矩阵

由引理4可知，矩阵（DFTm）［0，1，…，k－1，m－k，m－k＋1，…，m－1］的行向量构成的向量组是Cn中的最大鲁棒性擦除的等模、紧框架．因为Λ为对角酉矩阵，Vn是酉矩阵，由引理2可知，｛gk｝m－1k＝0为Cn的最大鲁棒性擦除的等模、实紧框架．

由于向量组｛gk｝km＝－10是实的向量组，根据框架的定义，得到｛gk｝km＝－10也是Rn的最大鲁棒性擦除的等模、紧框架．

注 在定理3和定理4中，当m＝n时，矩阵DFTm＝［ωkl］∈Mm的行向量构成的向量组｛φk｝km＝－10 是Cn的一组正交基，矩阵F＝ （DFTm）Un的行向量构成的向量组｛fk｝km＝－10，其中fk＝φkUn．因为 fk＝φkUn＝ φk，〈fk，fl〉＝ 〈φkUn，φlUn〉＝ 〈φk，φlUnUn＊〉＝ 〈φk，φl〉，从而向量组｛fk｝km＝－10是Cn的一组正交基，由于向量组｛fk｝km＝－10是实的向量组，所以向量组｛fk｝km＝－10是Rn的一组正交基．同理有，矩阵＝∈Mm的行向量构成的向量组是Cn的一组正交基，矩阵F＝ ）Vn的行向量构成的向量组是Rn的一组正交基．

［1］Duffin R J，Schaeffer A C．A class of nonhar monic Fourier series［J］．Trans Amer Math Soc，1952，72：341－366．

［2］Daubechies I，Gross mann A，Meyer Y．Painless nonorthogonal expansions［J］．J Math Phys，1986，27：1 271－1 283．

［3］Casazza P G，Kutyniok G．Finite frames：theor y and applications［M］．Boston：Bir khǎuser，2012．

［4］Christensen O．An introduction to frames and Riesz bases［M］．Boston：Bir khǎuser，2003．

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