朱振华

摘  要：一题多解是对同一个问题从不同的角度进行观察和思考，沟通知识之间的联系，分析各种解题方法之间的差别，找到最佳的解法，对培养和开拓学生的发散思维能力有很大的帮助. 本文通过对一道高考数学题的几种解法的探究，旨在培养学生的发散思维能力及分析、解决问题的能力，以提升学生的解题能力.

关键词：一题多解;发散思维;培养

一题多解就是对同一个数学问题从不同的角度进行观察和思考，沟通知识之间的联系，进而分析各种解题方法之间的差别，并由此找到最佳的解法，对培养和发展学生的发散思维能力以及分析问题和解决问题的能力是极大的帮助. 因此，我们在中学数学教学中尤其是在高三复习课中提倡一题多解的深入探究，这对开拓参加高考考生的发散思维尤为重要. 笔者通过对近年一道高考数学题的几种解法的探究分析，旨在培养学生的发散思维能力及分析、解决问题的能力，以提升学生的数学思维品质.

题目 在△ABC中，已知·=3·.

（1）求证：tanB=3tanA;

（2）若cosC=，求A的值. （2012年江苏高考数学第15题）

解析：（1）因为·=3·，所以AB·AC·cosA=3BA·BC·cosB，即AC·cosA=3BC·cosB.

由正弦定理，得=，所以sinB·cosA=3sinA·cosB. 又因为0<A+B<π，所以cosA>0，cosB>0.

所以=3·， 即tanB=3tanA.

（2）因为cosC=，0<C<π，所以sinC==，所以tanC=2，所以tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2，所以=-2.

由（1），得=-2，

解得tanA=1，tanA=-.

因为cosA>0，所以tanA=1. 所以A=.

评注：本题作为江苏高考数学第15题，虽难度不大，但考查了三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形、平面向量的数量积等知识，综合性比较强，并且对运算求解能力和推理论证能力做了考查. 在……