利用导数证明不等式是高考压轴题的热点题型之一，此类问题的特点是：问题以不等式形式呈现，“主角”是导数，而不等式的证明不仅技巧性强，而且方法灵活多变，因此构造函数成为证明不等式的良好“载体”，如何有效合理地构造函数是证明不等式的关键所在，下面以实例谈谈如何构造函数的若干解题策略.

移项作差，直接构造

例1 已知定义在正实数集上的函数f（x）= x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b（其中a>0），设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同.

（1）用a表示b，并求b的最大值；

（2）求证：f（x）≥g（x）（x>0）.

分析：（2）问中先作差构造函数F（x）=f（x）-g（x）= x2+2ax-3a2lnx-b（x>0），然后再利用导数判断其单调性求最小值，只需求证F（x）≥F（x）min≥0.

解：（1）b= a2-3a2lna，bmax= e （略）.

（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x）= x2+2ax-3a2lnx-b= x2+2ax-3a2lnx- a2+3a2lna（x>0），则F′（x）=x+2a- = . 当0a时，F′（x）>0，所以F（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数，所以F（x）≥F（a）= a2+2a2- a2=0，故当x>0时， f（x）-g（x）≥0，即f（x）≥g（x）.

解后感悟：对于超越不等式的证明，用初等数学方法解决困难，此时可通过构造函数利用导数求最值证明（可能有二次求导）.

合理变形，等价构造

例2 求证：lnx> - .

分析：初步设想直接作差构造f（x）=lnx- + ，则f ′（x）= + - . 令f ′（x）=0的零点无法常规求解，思路不通. 由于x>0，故适当变形为：xlnx> - . 令f（x）=xlnx，g（x）= - ，证[f（x）]min>[g（x）]max.

解：设f（x）=xlnx，g（x）= - ，则f ′（x）=1+lnx，g′（x）= .

当x∈0， 时，f ′（x）<0；当x∈ ，+∞时， f ′（x）>0，即[f（x）]min=f =- . 当x∈（0，1）时，g′（x）>0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）<0；

所以[g（x）]max=g（1）=- .

而f（x）最小值点与g（x）最大值点并不相等. 故f（x）>g（x），从而原不等式得证.

解后感悟：“变”得巧，故“求”得简单，敢于尝试，合理变形，方向比速度更重要，没路走要找路走，也不要有路就急于走，多想一点，就少算一点.

分析（条件）结论，特征构造

例3 已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），f（x1）-f（x2）≥4x1-x2.

分析：（2）当a≤-2时，f（x）在（0，+∞）单减，设x1≥x2，则结论可变形为f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1，不等式两边结构特征相似，不妨构造函数g（x）=f（x）+4x，寻找解题突破口.

解：（1）f ′（x）= （x>0）.

a≥0时，f（x）在（0，+∞）单增；

a≤-1……