皮军德

[摘要]随机事件和随机变量的独立性是概率统计的一个重要概念，关于独立性的讨论与应用贯穿于概率统计教学的全过程。本文通过独立与互斥，独立与不相關，如何判断独立等几个不同的角度去解析独立性，从而使学生对独立性的本质有更深刻的理解。

[关键词]独立 互斥 不相关 随机事件 随机变量

独立性是概率统计的一个重要概念，在概率统计整个教学过程中都有独立性的影子，许多定理和结论需要在满足独立性的前提下才成立，而独立的随机变量和随机事件也使得计算简单方便。许多学生对这个概念的本质并不太理解，容易与互斥，不相关等概念上混为一谈，本文通过独立与互斥，独立与不相关，如何判断独立等几个不同的角度去解析独立性，从而使学生对独立性的本质有更深刻的理解。

一、事件的独立与互斥

定义：设S是随机试验E的样本空间，A，B是随机事件，若AB=Ф，则称为A，B互斥。如果不等式P（AB）=P（A）P（B）成立，则称事件A，B独立。

显然，事件的独立和互斥是从两个不同的方面来刻画随机事件，独立的本质是两种结果互不影响，互斥是两种结果不能同时出现。在教学过程中要强调这种本质的区别，具体来说，：

结论1：A，B独立且P（A）>0，P（B）>0，则A，B不互斥。

结论2：A，B互斥且P（A）>0，P（B）>0，则A，B不独立。

结论3：A，B独立且互斥，则P（A）P（B）=0。

二、随机变量的独立与不相关

随机变量的独立性和不相关性是刻画多维随机变量间关系的概念，许多多学生对这两个概念不太理解容易产生混淆，我们以二维随机变量（X，Y）为例来探讨二者之间的区别与联系。