孙开飞

在《圆柱与圆锥》这一单元的单元测试中，有这样的一道题：一个圆柱形铁块的底面半径3厘米，高10厘米，将其铸成圆锥形零件，这个零件的体积是多少立方厘米？结果有60%左右的学生做错，而且错误的方法惊人的一致：V=■×3.14×32×10。对此教师作了针对性的评讲。无独有偶，在其后不久的期中测试中，又出现了一道与其类似的题目：一个圆柱形容器，底面半径10厘米，里面放一些水，将一个圆柱形铁块放入其中（水没有溢出，铁块完全浸没），水面上升3厘米，求铁块的体积。这道题与上述试题难度一致，都属于体积变形，结果仍有40%的学生出现差错，原因仍是多乘了。在了解学生错误的原因时，学生说：“老师强调，要求圆锥的体积，不能忘记■，而题中要求圆锥的体积，所以我们都习惯性地乘■了。”面对学生的错因，让我明白错误的根源在于课堂，那么日常教学中到底出现了怎样的弊端呢？反思这部分内容的教学，笔者觉得主要存在以下几个问题：

首先，训练以模仿为主，缺乏必要的变式，导致学生只掌握了知识的外壳，而忽略了数学的本质。学生能够运用圆锥的体积公式V=■sh进行体积计算，主要得益于教师的反复强调与强化练习。教学中，尤其是学生掌握了圆锥体积公式之后的练习，仍然是围绕“已知圆锥的底面半径（或直径、周长）和高，求圆锥体积”这种基本的题型，强调的是“要求圆锥的体积，不能忘乘■”，而没有能及时地作变式训练。这种反复的、大量的、机械的强化训练，致使学生一看到求圆锥体积，就条件反射地乘■或除以3，因而一再地出现上述错误，就不足为奇了。

其次，思维如同单行线，缺乏必要的对比，导致学生只能顺向而行，不能把握题目内涵。对于V=■sh这一公式的推导，教师在教学中花费了大量时间，进行了充分探索，学生也是学得透彻，因而运用这种方法计算圆锥的体积，在学生脑海中确立了牢固的地位。但这仅仅是圆锥体积计算的一个方法，还有其他方法教师未能涉及，即使在学生出现错误之后，教师的评讲也是局限于“就题论题”，没有对圆柱和圆锥的体积计算方法作有效的、针对性对比，致使学生的思维如同单行线，只会依据公式求圆锥体积，不能够分析、把握题目的内涵。

问题的结症找到了，那么如何避免这样的错误呢？我觉得在学生熟练掌握圆锥体积计算方法后，有必要作针对性的补救。我设计的教学是：

一、 在实践中感悟

1.出示一些不规则的石块，提问：怎样才能测出这些石块的体积？（由于学生在学习《长方体与正方体》这一单元时，已经有了基础，很容易想到：可以将石块放入盛有水的量杯中，看水上升的体积）

2.如果将石块改成圆锥，上升的体积还等于圆锥的体积吗？

3.将量杯换成圆柱形容器，想一想，如何利用这个已经告诉我们底面半径的容器来测量圆锥的体积呢？将圆锥放入水中，在完全浸没的情况下，上升的这一段水柱的体积与圆锥的体积有怎样的关系？如果此时要求圆锥的体积，实际是求什么的体积？为什么不需要乘■呢？

4.学生实际操作实践。

【设计意图：“数学教学，实际是数学活动的教学。”这一环节的设计，主要是让学生直观感受圆锥的体积等于上升的水柱的体积，而如果容器为圆柱形，则上升的这一段水柱也为圆柱，要求圆锥体积，在这里其实就是求上升的这一段圆柱形水柱的体积，故无需乘■。】

二、 在对比中提升

在上述实践的基础上，设计以下的三组对比题：

第一组：

1.一个圆柱形容器，底面半径3厘米，在里面放一些水，再放入一个圆锥形铁块（完全浸没），水面上升2厘米。求圆锥形铁块的体积。

2. 一个圆柱形容器，底面半径3厘米，在里面放一些水，再放入一个底面半径2厘米，高3厘米的圆锥形铁块（完全浸没），求圆锥的体积。

3. 一个圆柱形容器，底面半径3厘米，在里面放一些水，水深3厘米再放入一个圆锥形铁块（完全浸没），这时水深5厘米。求圆锥的体积。

第二组：

1.一个圆柱形铁块的底面半径3厘米，高10厘米，将其铸成圆锥形零件，这个零件的体积是多少立方厘米？

2.一个圆柱形铁块正好可以熔铸成底面半径3厘米，高10厘米的圆锥形零件，这个零件的体积是多少立方厘米？

第三组：

1. 一个圆柱形容器，底面半径6厘米，在里面放一些水，再放入一个圆锥形铁块（完全浸没），水面上升2厘米。已知圆锥的底面半径2厘米，求圆锥的高。

2.一个圆柱形铁块的半径4厘米，高6厘米，将其铸成底面半径3厘米的圆锥形零件，求零件的高。

【设计意图：乌申斯基曾说：“比较方法是各种认识和各种思维的基础。”小学生在每一课的学习中所获得的知识常常是局部的、分散的，会有“见叶不见枝、见木不见林”的现象，需要通过比较，来理解知识的内在联系与区别。在这一环节中，教师设计了三组比较题组，从而进一步把握相关知识的本质，建构起合理的认知结构，促进思维能力的发展。】

三、 在反思中完善

由刚才的实践以及对比训练，你觉得要求圆锥的体积，是不是一定要乘■？那么在什么情况下要乘■，在什么情况下不需要呢？（引导学生得出：在告诉我们圆锥的底面半径与高的情况下，求圆锥的体积，就需要乘■。）

【设计意图：在实践操作以及比较训练的基础上，引导学生自我反思总结，归纳出具有更高抽象性、概括性、包容性的认识，形成活化的知识组块，检查自我数学认知结构，融会贯通并有序储存，从而优化认知结构。】

在运用了上述的补救措施后，学生几乎没有再犯类似的错误。而通过对上述错例的分析与反思，也给我们一定的启示。

1.科学设计练习，把握数学思想。数学教学中一定量的练习是必要的，但练习不是单纯的题目堆砌，更不能一成不变，要注意量与度的平衡，否则适得其反。教师要重视对练习题型的重组与变式，把握其中蕴含的数学方法，巧妙地将转化、模型等数学思想有意识地渗透于学习过程中，使学生解一题，会一类；同时，当学生出现典型的“通病”时，要仔细分析错因，采取针对性措施，而不是就题论题。只有在科学合理训练的基础上，学生才能掌握更多的思维机制和数学思想，教学才能高屋建瓴。

2.重视解题反思，完善解题思路。我国著名数学家华罗庚在总结他的学习经历时指出：“对书本中的原理、定量公式，我们不仅要记住它的结论，而且还要设想一下人家是怎样想出来的，只有经历了这样的探索过程，数学的思想方法才能凝聚在这些结论上，从而使知识具有更大的智慧。”因而教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，如反思我是怎样解决问题的，走了哪些弯路，运用哪些方法，有哪些易错之处，记住怎样的教训等等。只有这样，才能促使学生真正理解和掌握，才能完善自我的解题思路。

学生在学习过程中出现错误是在所难免的，尤其是当学生出现典型的、普遍性的错误时，我们不能总是责怪学生没有仔细认真，而要反思自己的教学过程，采取针对性的补救策略。

【责任编辑：陈国庆】