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(镇海中学 浙江宁波 315200)

在数学学习中，我们要善于捕捉问题中透露出来的信息.综合性强的问题往往都可以举一反三、触类旁通.因此，笔者认为对一些经典的高考题多作一些思考、猜想与总结，会发现具有普遍性的思维结果.下面笔者从2013年浙江省数学高考理科压轴题入手，分析此题的4种解法，尝试从本质上分析该题的背景、出题意图，并给出关于三次函数中心对称的一般结论，以期为平时的教学提供参考.

1 抛砖引玉——纵观题目

函数的最值问题是函数的整体性质，闭区间上函数的最值只能在区间的端点和极值点上取到.因此,要对函数在这个区间上的性质作充分地分析才能进行准确判断,要充分利用函数的图像以及问题所具有的特殊性.

例1已知a∈R，函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当x∈[0,2)时，求|f(x)|的最大值．

(2013年浙江省数学高考理科试题第22题)

2 求真务实——解法分析

第(1)小题难度不大，主要考查导数的几何意义，此处不再讨论.第(2)小题看上去简洁精练，主要涉及含参三次函数的求最值问题，但难度较大；因绝对值的参与，使得难度比平时遇到的含参三次函数更上了一个等级.以下介绍第(2)小题的4种解法：

解法1由f′(x)=3x2-6x+3a=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2，得

(1)当a≤0时，f′(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故

|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=f(0)=3-3a.

(2)当a≥1时，f′(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，故

|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=f(2)=3a-1.

0

此时f(x)在区间(0,x1)和(x2,2)上单调递增，在区间(x1,x2)上单调递减.由

得

f(x1)+f(x2)=2>0，

从而

f(x1)>|f(x2)|，

故

|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}．

f(x1)-f(0)=2t3-3t2+1=(t-1)2(2t+1)>0,

故

f(x1)-|f(2)|=2t3+3t2-1=(t+1)2(2t-1).

|f(x)|max=|f(2)|=3a-1．

综上所述，

点评本题考查了数形结合、转化与化归、分类讨论思想，还要求学生具有较强的运算能力、推理论证能力以及分……