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(如东高级中学 江苏如东 226400)

近年来，给出二元变量的约束条件、求二元变量的最值问题,出现在各类考试中.这类题目所涉知识面广、入口宽、方法多、能力要求高，学生很难又快又准地解决问题.笔者在教学中遇到一道二元最值题，本文将笔者与学生共同探究这类问题解法的过程记录下来，供大家参考.

1 题目展示

题目已知点P(x,y)的坐标满足

2 师生共同探索

2.1 熟悉问题

图1

让学生认真读题，用线性约束条件可以作出可行域(如图1).

师：有哪些易错的地方？

生1：注意不等式中等号能否取到，也就是分清可行域的边界是虚线还是实线.

2.2 深入理解问题

2.3 函数与导数角度

方法1(常规方法)若x=0，则

师：分子、分母同除以x可以直接得到斜率，从而达到减元的目的.用常规方法解决这道填空题思路简单，但需要分类讨论，计算量大，耗时过长，容易发生计算错误.目标还是减元，同时减少分类讨论的情形，方法1还能简化吗？

生3：我观察到可行域中y≥0，如果分子、分母同时除以y，讨论情况将会减少.

方法2(常规方法的改良)若y=0，则x<0，从而

从而

当t→-∞时，

又

于是

师：对比2种方法，哪种更优？

生4：方法1和方法2同样是减元，分式的分子、分母分别同时除以x和y，方法2中少讨论一种情形，运算量明显减少.

2.4 解析几何的角度

师：分母是根式，由此能联想到什么公式？

图2

从而

从而

sin∠DOP=0.

师：方法3和方法4都是转化为解析几何中含根号的公式解决问题.方法4将距离比值转化为三角函数，明显简化，那么可以直接转化为三角函数解题吗？……