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(抚顺市第一中学 辽宁抚顺 113001)

无论是高考试题、自主招生试题，还是数学征题、奥林匹克竞赛试题，都有一个显著的特点：无论这些试题外表多么新奇、实质内容多么深奥，它们的“根”都“植在”我们天天见面、但却时常被忽视的教材中.教材是一座宝藏，里面蕴涵着取之不尽、用之不竭的资源.“研究教材、吃透教材、整合教材、开发教材”才是从容应对各类试题最有效的方法与策略.

笔者在此例谈选修教材中柯西不等式的变式：若xi,yi∈R+,则

例1

(第2届世界“友谊杯”数学竞赛试题)

证明

由柯西不等式变式，得

评注

这道世界名题经历几十年的洗礼，依然是数学爱好者津津乐道的一道经典试题，其证明方法多达几十种.上述证法简洁明了，是该变式的一个简单应用，上述命题可推广为：

若ai∈R+(i=1,2,3,…,n)，则

有趣的是，若把例1中的a,b,c分别换成bc,ca,ab就得到第36届IMO试题：

例2

(第36届IMO试题)

证明

由abc=1，原不等式经适当的恒等变形，得

又由柯西不等式变式，得

评注

上述证明过程简洁流畅，一气呵成.正如爱因斯坦所言：“美，本质上终究是简单性.”

例2可推广为:若a,b,c是正数，n∈N+，且abc=1，则

例3

(《数学教学》数学问题488)

证明

由柯西不等式变式，得

评注

原题的解答过程较为复杂，上述构思自然流畅，美不胜收.

例4

(《数学通报》问题1 724)

证明

评注

例5

(《中等数学》数学奥林匹克问题之163(高中))

推广1

推广2

评注

例6

(2008年南开大学自主招生试题)

由柯西不等式变式，得

评注

上述证明极其简洁巧妙，构造分母“1”让人拍案叫绝.正如克莱因所言：“一个精彩巧妙的……