●

(浙江师范大学附属中学 浙江金华 321004)

含参恒成立问题是函数中最常见、也是最复杂的一类问题，综合性强，变化多，对数学逻辑思维能力、等价转化能力和运算能力都有极高的要求.解决时往往找不到突破口，难以下手，或是找不对方向，常走弯路.

此类问题最基本的解决思路是最值转化，把问题转化为求某一函数在区间上的最大(或最小)值.导数法是解决该类问题有效的途径之一，但往往不是一次求导就能解决的，需要多次求导或利用导数的意义加以判断，更有甚者是抛开导数，直接利用“反客为主”法求解.

归结起来，解决此类问题有以下3种境界.

境界1

求导“一站到底”

利用函数的导数判断函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围.有时一次求导就能判断，有时需要多次求导，逐层判断单调性，称之为“一站到底”.

例1

关于x的不等式ex≥1+ax对x≥0恒成立，求实数a的取值范围．

分析

由题意，问题等价于不等式ex-ax-1≥0在[0,+∞)上恒成立.

设函数f(x)=ex-ax-1，x∈[0,+∞)，求导得

f′(x)=ex-a，

又x∈[0,+∞)，得ex≥1，从而

(1)当a≤1时，f′(x)=ex-a≥0，即f(x)=ex-ax-1在(0,+∞)上单调递增，因此当x∈[0,+∞)时，fmin(x)=f(0)=0．

(2)当a>1时，由f′(x)=0，得x=lna>0，从而f(x)=ex-ax-1在(0,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增.又f(0)=0，于是当x∈(0,lna)时，f(x)

综上可得，实数a的取值范围是a≤1．

例2

关于x的不等式ex≥1+x+ax2对x≥0恒成立，求实数a的取值范围．

分析

由题意，问题等价于不等式ex-ax2-x-1≥0在[0,+∞)恒成立．

设函数f(x)=ex-ax2-x-1，x∈[0,+∞)，求导得

f′(x)=ex-2ax-1，

设g(x)=ex-2ax-1，x∈[0,+∞)，则g′(x)=ex-2a,又x∈[0,+∞),得ex≥1,从而

由上面2个例子可以看出，函数变化看导数，难分难解再追踪，函数零点或难求，导数意义仍可用！

境界2

借助高数方法

含参恒成立问题经常采用的另一种解决办法是分离……