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(枣庄市第三中学 山东枣庄 277100)

题目

求证：tan3°是无理数.

(2014年“北约”自主招生数学试题)

命题1

预备定理

命题2

证明

cosnθ=cosmπ=(-1)m.(1)

对于任意正整数n,2cosnθ可以表示为2cosθ的n次整系数多项式，且首相系数为1，即

2cosnθ= (2cosθ)n+a1(2cosθ)n-1+…+

an-1(2cosθ)+an,

(2)

其中a1,a2,…,an都是整数.

式(2)运用归纳法容易证明：当n=1时，2cosθ=2cosθ；当n=2时，2cos2θ=(2cosθ)2-2.假设式(2)对n及n+1已成立，则

2cos[(n+2)θ]=2cosθ·2cos[(n+1)θ]-2cosnθ.

这表明，式(2)对于n+2也成立.

由式(1)、式(2)及已知条件可知，x=2cosθ是方程

xn+a1nn-1+…+an-1x+an-2(-1)m=0

(3)

下面证明命题1：

证明

从而

得

于是