一道“北约”自主招生试题的探究与推广
2014-08-07
中学教研(数学) 2014年6期
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(枣庄市第三中学 山东枣庄 277100)
题目
求证:tan3°是无理数.
(2014年“北约”自主招生数学试题)
命题1
预备定理
命题2
证明
cosnθ=cosmπ=(-1)m.(1)
对于任意正整数n,2cosnθ可以表示为2cosθ的n次整系数多项式,且首相系数为1,即
2cosnθ= (2cosθ)n+a1(2cosθ)n-1+…+
an-1(2cosθ)+an,
(2)
其中a1,a2,…,an都是整数.
式(2)运用归纳法容易证明:当n=1时,2cosθ=2cosθ;当n=2时,2cos2θ=(2cosθ)2-2.假设式(2)对n及n+1已成立,则
2cos[(n+2)θ]=2cosθ·2cos[(n+1)θ]-2cosnθ.
这表明,式(2)对于n+2也成立.
由式(1)、式(2)及已知条件可知,x=2cosθ是方程
xn+a1nn-1+…+an-1x+an-2(-1)m=0
(3)
下面证明命题1:
证明
从而
得
于是