APP下载

一道“北约”自主招生试题的探究与推广

2014-08-07

中学教研(数学) 2014年6期
关键词:数学试题归纳法枣庄

(枣庄市第三中学 山东枣庄 277100)

题目

求证:tan3°是无理数.

(2014年“北约”自主招生数学试题)

命题1

预备定理

命题2

证明

cosnθ=cosmπ=(-1)m.(1)

对于任意正整数n,2cosnθ可以表示为2cosθ的n次整系数多项式,且首相系数为1,即

2cosnθ= (2cosθ)n+a1(2cosθ)n-1+…+

an-1(2cosθ)+an,

(2)

其中a1,a2,…,an都是整数.

式(2)运用归纳法容易证明:当n=1时,2cosθ=2cosθ;当n=2时,2cos2θ=(2cosθ)2-2.假设式(2)对n及n+1已成立,则

2cos[(n+2)θ]=2cosθ·2cos[(n+1)θ]-2cosnθ.

这表明,式(2)对于n+2也成立.

由式(1)、式(2)及已知条件可知,x=2cosθ是方程

xn+a1nn-1+…+an-1x+an-2(-1)m=0

(3)

下面证明命题1:

证明

从而

于是

猜你喜欢

数学试题归纳法枣庄
物理方法之归纳法
山东枣庄:大白鹅“叫开”致富门
高考数学试题从哪儿来
高考数学试题从哪儿来
数学归纳法学习直通车
高考数学试题从哪儿来
高考数学试题从哪儿来
用“不完全归纳法”解两道物理高考题
数学归纳法在高考试题中的应用
枣庄探索公共卫生医联体