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(海头高级中学 江苏赣榆 222111)

1 问题提出

解析几何中，我们常遇到1个动点到2个定点距离之和与差的最值问题，此类问题的条件通常是给出2个定点和1个动点，动点往往有固定的轨道，所求的问题一般是动点到2个定点的距离之和或差．此类问题往往因为定点处于轨道的异侧与同侧之分，轨道也有直线与曲线之别，距离又分和差，最值有最大也有最小，所以看起来解法各异，甚是灵活．不少学生遇到这些问题，往往都是不同问题应用不同方法，一题一议，一题一法．然而笔者在教学实践中却意外发现，它们的处理方式虽形式各异，但本质上都可以转化为初中学生都明白的2个简单的数学模型．

2 2个经典的最值应用模型

“两点之间，线段最短”，简单的8个字蕴涵着生活的哲理，它是我们都熟悉的一个“距离公理”，它的应用也非常广泛．大家最熟悉的一个例子：张庄和李庄是位于公路2旁的2个村庄，若要在公路上建一个汽车站，欲使2个村庄到该车站的距离之和最小，试设计出车站的最佳位置，并说明理由．这是该数学公理最简单也是最典型的实例，影响深远，由此可以抽象出如下的数学模型：

模型1

如图1，已知点A,B在直线l的异侧，在l上求一点M，使得MA+MB最小．

分析

根据两点之间，线段最短，联结AB，与直线l的交点是M′便是要求的点M．

证明

在直线l上任取一点M，得MA+MB≥AB，当且仅当点M与M′重合时有M′A+M′B=AB，因此MA+MB的最小值是AB的长度．

上面这个模型最典型的特征是：(1)定点A,B位于动点运动轨道的异侧；……