李云霞，刘高杰，周 琴

(成都理工大学 管理科学学院，四川 成都 610059)

1 拓扑空间和闭集

定义1 设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族.如果T 满足以下条件:

①X，φ ∈T;

②若A，B ∈T，则A ∩B ∈T;

③若T1⊂T，则∪A∈T1A ∈T.

则称T 是X 的一个拓扑.

如果T 是集合X 的一个拓扑，则称偶对(X，T)是一个拓扑空间，或称集合X 是一个相对于拓扑T而言的拓扑空间;或者当拓扑T 早已约定或在行文中已有说明而无需指出时，称集合X 是一个拓扑空间.此外，T 的每一个元素都称为拓扑空间(X，T)(或X)中的一个开集.

定义2 设E ⊂Rn，如果E 的每一个聚点都属于E，则称E 为闭集.

引理1 设X 是一个拓扑空间，A ⊂X，则A 是一个闭集当且仅当A 的补集A' 是一个开集.

证明

1)必要性.

2)充分性.

设A'是一个开集.如果x ∈A'，则A'是x 一个邻域，它满足条件，A' ∩A = φ.因此，xd(A).于是有d(A)⊂A，即A 是一个闭集.

定理1 设X 是一个拓扑空间，记Ψ 为所有闭集构成的族，则:

①X，φ ∈Ψ;

②如果A，B ∈Ψ，则A ∪B ∈Ψ，从而如果A1，A2，…，An∈Ψ，n ≥1，则A1∪A2∪…An∈Ψ;

③如果φ ≠Ψ1⊂Ψ，则∩A∈Ψ1A ∈Ψ.

证明 根据引理1 有，Ψ = {U' | U ∈T}，其中，T 是X 的拓扑.

1)由于X，φ ∈T，所以，

φ = X'，X = φ' ∈Ψ.

2)当时A，B ∈Ψ，有A'，B'∈T，从而A'∩B'∈T.因此，

3)令T1= {A| A' ∈Ψ1}，于是T1⊂T，因此∪U∈T1U ∈T.从而，

由定理1 知，可用定义闭集的方式来确定拓扑结构.

2 收敛性、闭性与拓扑空间

2.1 度量空间中的收敛性与闭性

设(X，d)为度量空间，d 是距离，定义，

为x0的以ε 为半径的开球，亦称为x0的ε-邻域.

设{xn}是(X，d)中的点列，如果存在x ∈X，使则称点列{xn}是(X，d)中的收敛点列，x 是点列{xn}的极限.类似于Rn，可以证明度量空间中收敛点列的极限是唯一的.

类似于Rn，可以证明度量空间中收敛点列是有界点集.度量空间中闭集也可以用点列的极限来定义.

定理2 M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中，即若xn∈M，n = 1，2，…，xn→x，则x ∈M.

证明 必要性显然成立.由定义易知M 的每个聚点都属于M，从而M 是闭集.

2.2 收敛性和闭集

定义3 设X 是一个非空集合，XS是由X 上的所有点列构成的集合，若XS× X 的子集S，满足:对任意α，β ∈XS，若(α，x)∈S，且β 是α 的子列，则(β，x)∈X，则称S 是集合X 上的一个收敛.此时(α，x)∈S 可称为点列α 在X 中收敛于x，或称x 为点列α 的极限，记为

定义4 设X 是一个非空集合，S 是集合X 上的一个收敛，A ⊂X.若A 中的收敛点列的极限仍属于A，则称A 为X 在S 下的闭集.

定理3 设X 是一个非空集合，S 是集合X 上的一个收敛.记Ψ 为X 在S 下的全体闭集构成的集族，则:①φ，X ∈Ψ;②若A，B ∈Ψ，则A ∪B ∈Y;③若Ψ1∈Ψ，则F ∈Y.

证明 根据定义4，得:

1)显然成立φ ∈Ψ.对A ⊂X，若A 中的收敛点列的极限仍属于A，收敛点列仍在X 中，其极限也属于X，故有X ∈Ψ.

2)若A，B ∈Ψ，任取A ∪B 中的点列{xn}其收敛于x，则其在集合A 中{xn}的子列也收敛于x，由于A 是闭集，故x ∈A;在集合B 中{xn}的子列也收敛于x，由于B 是闭集，故x ∈B;从而x ∈A ∪B，于是A ∪B ∈Ψ.

3)任取F 中的点列{xn}，其收敛于x，由于F 是闭集有x ∈F，又因为{xn}⊂F，所以{xn}F.于是由x ∈F 可得因此

定理4 记TS= {U ⊂X| U'∈Ψ}，则TS是X上的一个拓扑.

证明 Ψ 满足定理3 的3 个条件，故TS满足定义1 的3 个条件，因而TS是X 上的一个拓扑.

定理4 说明，由集合X 上的收敛S 可赋予X 一个拓扑结构TS.

例1 设X 是一个平庸空间，XS是由X 上的所有点列构成的集合，取S = XS× X，易知S 是X 上的一个收敛，由定义4 可知平庸空间X 也是个闭集，从而平庸空间X 上的收敛S 赋予X 一个拓扑结构，称之为平庸拓扑.

例2 设X 是一个离散空间，XS是由X 上的所有点列构成的集合，由于X 中的每个集合都是开集，即有A ⊂X，A'⊂X.根据引理1 知，A 是闭集.从而令S = {({xn}，x)}存在M ∈Z+，使得当n ＞M 时，有xn≡x}，易知S 是X 上的一个收敛，由定义4 可知离散空间X 也是个闭集，从而离散空间X 上的收敛S赋予了X 一个拓扑结构，称之为离散拓扑.

定义5 设{xi}i∈Z+是拓扑空间(X，T)中的一个序列，x ∈X.如果对于x 的每一个领域U，存在M∈Z+使得当i ＞M 时有xi∈U，则称点x 是序列{xi}i∈Z+在拓扑T 下的一个极限点(或极限)，也称为序列{xi}i∈Z+收敛于x，记作

如果序列至少有一个极限，则称这个序列是一个收敛序列.

需要指出的是，(X，TS)中的S 收敛与TS收敛可能不一致.

例3 设X 是一个不可数集，T 是X 上的可数补拓扑.可以证明X 中的一个点列{xn}拓扑T 收敛于x的充要条件是，存在M ∈Z+使得当i ＞M 时xi= x.若X 上的拓扑T 是X 上的某个收敛S 确定的拓扑.即，存在X 上的收敛S，使得TS= T.

可证，X 上的点列{xn}的T 收敛与S 收敛一定不一致.这是因为，若两种收敛是一致的，则由上述定义知，{xn}S 收敛于x，当且仅当，存在M ∈Z+使得当i ＞M 时xi= x.而(X，TS)(= (X，T))中的子集A 是闭集，当且仅当，若{xn}⊂A，并且{xn}S 收敛于x，则必有x ∈A.

因为TS= T，即TS是可数补拓扑，故对于A 真包含于X:A 是闭集，当且仅当，A 是可数集.取B 是X 的一个真子集且不可数，则B 不是闭集.但另一方面，对于{xn}⊂B 有{xn}S 收敛于x，则存在M ∈Z+使得当i ＞M 时xi= x，于是x ∈B，故B 是(X，TS)中的闭集，矛盾.从而证明了X 上的点列{xn}的T 收敛与S 收敛一定不一致.

2.3 实 例

用S 收敛来确定拓扑结构，即所谓的基本函数空间R(Rn).

对于n 维Euclid 空间Rn中的点x = (x1，x2，…，xn)，记设p1，p2，…，pn为个非负整数，多重指标p 是指如下的有序n-数组p = (p1，p2，…，pn)，记| p| = p1+ p2+ … + pn.对于每个多重指标p，引进偏微分算子，

设φ 为定义在Rn上的函数，称集合{x:φ(x)≠0}的闭包为φ 的支集，记为suppφ.

设φ 为定义有Rn上的函数，称Dpφ(如果存在)为φ 的p 阶偏导数.如果pj= 0，则表示不对xj求偏导数.如果所有的pj= 0(j = 1，2，…，n)，表示不求任何偏导数.Rn上无限次可微复值函数的全体为C∞(Rn).C∞(Rn)中具有紧支集的函数的全体记为R(Rn).容易看出，C∞(Rn)、R(Rn)按照通常函数的线性运算都是复线性空间.

定义6 设{φm}⊂C∞(Rn)(m = 1，2，3，…)，φ ∈C∞(Rn).如果对Rn中的任一紧子集K 以及任一多重指标p，{Dpφm}在K 上一致收敛于Dpφ，则称{φm}在C∞(Rn)中收敛于φ，记为

定义7 设{φm}⊂C∞(Rn)(m = 1，2，3，…)，φ ∈R(Rn).如果满足:

①存在Rn的紧子集K，使得对这一切m = 1，2，3，…，有suppφm⊂K;

②对任一多重指标p，{Dpφm}在Rn上一致收敛于Dpφ.

则称{φm}在R(Rn)中收敛于φ，记为，{φm}而称R(Rn)按照所规定的线性运算及收敛概念为一基本函数空间.

易知，(R(Rn)，TS)不仅是拓扑空间，而且是线性空间，以及其上的线性运算在拓扑TS下是连续的，因而其是拓扑线性空间.

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