杨 婷，周佳馨，杨仕椿

(阿坝师范高等专科学校 数学与财经系，四川 汶川 623000)

0 引 言

在代数和数论中，整除性是整数和多项式的一类重要性质，对此已有十分丰富的成果，也有很多尚待解决的问题与进一步研究的课题［1－3］.著名的奇完全数问题、Euler 函数的性质、幂数问题、约数和函数等等，其本质上都是属于整除性问题.

对于正整数k，设未定元为x 的一元多项式，

问题 哪些正整数m 和n，可使整数关系，

成立?

1980年，Bombieri［4］证明了:如果整除关系成立，则必有m ≤229.特别是当m ≠2，3，5 或7 时，必有n ＜10370.然而在一般情况下，这仍是一个尚未完全解决的问题.

2013年，周凡雨等［5］对m = 2，3，4，7 进行研究，证明了，当m = 2 或3 时，整除关系(2)对于任何大于m 的正整数n 都成立，当m = 5 或7 时，整除关系(2)成立的充要条件分别是n ＞5，且n ≡±1(mod6)，以及n ＞7 且n ≡1(mod6).

在此基础上，本研究通过代数和数论知识，运用同余关系、递推序列的通项以及复数的模的性质，讨论了m = 4 时多项式的整除性问题，主要结论是:

定理1 对于任何正整数n ＞4，均有，

1 若干引理

引理1 对于任何正整数n，都有x2－ 1 |Tn(x).

证明 见文献［5］中的引理2.1.

引理2 在数列{an}中，给定a1，且an+1= λan+ f(x)，n ＞1，其中λ ≠0，则此一阶递推数列{an}通项公式为，

证明 由递推数列的性质可直接推出.

引理3 若A、B 为复数，且| A| ＞λ| B|，则，

证明 在| A| ＞λ| B| 两边同时减去| B| 可得，

则由三角形不等式可得，

结论成立.

2 定理1的证明

由于，

且

因此，根据引理1 可知，x2－1 | Tn(x)，所以要验证，当m = 4 时整除关系T4(x)| Tn(x)，n ∈N，只需要验证整除关系，

由于多项式x2+7 的根是和所以整除关系(4)成立的充要条件是，

即，

设，

有，

情形1 n 为奇数.通过计算可得，S1= 1，S3=－5，S5= 11.所以，S5≡3(mod4).由式(5)可得，

则，

下面证明，

假设当n = r 时，式(7)成立，即Sr≡2(mod4)，则当n = r +2 时，由式(6)可得，

所以，当n 为奇数时，式(7)成立.因此，当n ＞4，且n 为奇数时，Sn≠1，则整除关系(4)成立.

情形2 n 为偶数，且n ≡2(mod4).设n = 4k +2 时，由式(5)可得，

由式(8)可得，

由于S6= 9，S10= 57，S14=－87，所以，

下面证明，

假设当n = 4k +2 时，式(10)成立，即S4k+2≡9(mod16)，则当n = 4k +6 时，由式(9)可得，

S4k+6≡S4k+2= 9(mod16).

所以，当n = 4k +2 时，式(10)成立.因此，当n＞4，且n = 4k +2 时，Sn= 16l +9 ≠1，则整除关系(4)成立.

情形3 n 为偶数，且n ≡0(mod4).令n = 4k，由式(5)可得，

S4k+4= S4k－16S4k－4，

令S4k= Wl，则Wl+1= Wl－16Wl－1，所以，

Wl+1－ λWl= δ(Wl－ λWl－1)，

则由，

可得，

由于W1= S4= 1，W2= S8=－31，则当l ≥3时，有，

根据引理2，由式(11)可得，

令A = 256(31 +λ)δl－3，B = (16λ+31λ2)λl－3，通过计算可得，

所以| A| ＞2| B|.由于| λ| ＞1，根据引理3可得，| A－ B| ＞| B| ＞510，则，

于是Wl≠1.所以，当n = 4k 时，Sn≠1，则整除关系(4)成立.

综上所述，当n 为偶数时，整除关系(4)成立.定理1 得证.

［1］Richard K G.Unsolved problems in number theory［M］.New York:Springer Verlag，1994.

［2］华罗庚.数论导引［M］.北京:科学出版社，1979.

［3］冯克勤，余红兵.整数与多项式［M］.北京:高等教育出版社，1999.

［4］Bombieri E.On a problem of tu concerning divisibility of polynomials［C］//Proceedings of the 1980 Beijing Symposium on Differential Geometry and Differential Equations.Beijing:Science Press，1982:1481－1482.

［5］周凡雨，陈运栋，张璐瑶，等.多项式(1+x)k+(1－x)k－2k的整除性［J］.湛江师范学院学报，2013，34(3):49－52.