任保文

（西安电子科技大学物理系，陕西 西安 710071）

在常见大学物理教科书中，对弹簧振子的讨论，一般都忽略弹簧质量；弹簧振子作简谐振动，其频率为单一值.若考虑弹簧自身质量，即将弹簧看作弹性体，则弹簧波动频率并不单一、其值也明显不同，当弹簧质量较小可忽略时，振子的频率等问题皆回到常见情形.但当弹簧质量不可忽略时，其结果与常见情况明显不同.本文也给出了弹簧在自重作用下的静止形变及最大形变以及超越方程xtanx＝c解的渐近表示等重要结论.

1 问题及解

原长为l，质量为m0且弹性系数为k的弹簧，竖直悬挂着质量为m的振子，慢慢放开，则该定解问题如下：

故解为

2 讨论

1）静态解的一些讨论

m=0时，弹簧在自重作用下的变形为u（x）此时弹簧的质量线密度为

静止时坐标为η，则有，故有

动态时类似.

弹簧端点的振动为

2）若m＝0时，则有：

由边界条件可设通解为

3）m0／m→0时，一般解的一些讨论

对于超越方程xtanx＝c，若令z＝x-nπ，n＝1，2，3，…，则有

即求z（w）的渐近展开式，由

等等.

考虑到渐近表示的误差，则超越方程根的渐近表示取为

对于超越方程xtanx＝c的最小正数解，选c为参数.同理得根的渐近表示为

故：振动的基频为

对超越方程xtanx＝c用迭代法解得

xtanx＝0.05的理论解如下：

xtanx＝0.05的渐近解的数值计算结果如下：

由上面数值计算可以看出，当c较小［c＝0.01，c＝0.1］时渐近公式具有较高的精确度.故一般解近似为

此种情况高阶项相对较小，一般可略去.此时退化为常见情况.

由以上讨论可知，若考虑弹簧的自身质量比不考虑……