卢君娥

《数学课程标准》（2011年版）在说明解释“经历”“体验”“探索”这三个过程目标行为动词的含义时，都把“特定的数学活动”作为关键要素。由此可见，数学活动是实现过程目标的基本途径。苏联著名教育家斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学。”也就是说，数学知识的学习过程都是某种形式的数学活动，它主要是通过对学生学习活动的结果来考察衡量的。

数学是一门思维的科学。作为结果的数学，其呈现的往往是“既定的形式”，只有有过程的数学才能体现“鲜活的数学”。因此，数学的特质在于过程，教学就是一种过程性的存在。学生的数学学习和数学素养的发展并非单纯通过接受数学事实来体现，而更多地需要在数学活动的过程中来实现。

一、操作性活动要有助于经历知识形成的过程

数学知识作为结果的呈现，往往只是一种符号，但其背后隐含着丰富的过程。只有在过程中引导学生自己理解，才能使学生建构起知识的意义，体会知识背后的内涵。为此，在教学中，特别是几何直观的教学中，要科学设计活动，通过充分的操作感知，引导学生经历知识形成的过程，沟通知识点之间的内在联系，促进学生体会数学知识内在本质的互通性，从而完善学生的认知结构，促进过程性目标的达成。

例如，人教版六年级《圆的认识》一课的教学，笔者在教学前进行了如下思考：从“生活中的圆”到“数学中的圆”，应该设计怎样的操作活动，才能促进学生把“经验”发展为“知识”？半径、直径等数学概念的产生和认识，学生需要经历怎样的学习过程才能真正感知并理解？基于上述两点思考，笔者设计了如下系列活动：首先，通过“看圆”活动，引导学生找寻、欣赏生活中圆形的物体，让学生体验生活中处处有圆，圆无处不在，从而产生认识探究圆的心理需求；其次，通过“说圆”活动，让学生分享课前所得圆形纸片的操作过程，对比已经学过的平面图形，体验圆与其他直线图形的区别——圆是平面上的一个曲线图形；最后在“折圆”的活动中，通过操作、观察、质疑、讨论、测量、验证等系列活动，让学生操作与全班互动交流和谐统一，在不断追问中逐步理解、明晰、构建、完善对圆的认识，理解圆的特征，半径与直径之间的关系，真正使概念的建构过程成为一个“意义赋予”的过程，提升学生学习的层次，培养学生抽象、概括、判断、推理等数学能力。“画圆”活动，首先要求同桌两人交换尝试用圆规画圆，一个同学画圆，另一个仔细观察同桌的画法，然后分别口述同桌画圆的过程及其优缺点。在操作、比较、交流的过程中，让学生发现不规则的圆是如何被“创造”出来的，让出现类似问题的学生引起注意，交流、分享画出又快又好的圆的方法和窍门，在不断纠错、交流、分享的过程中完善用圆规画圆的方法，接着让学生用自己总结出的画法画指定大小的圆，巩固验证画圆的方法，在比较中发现圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小这一特点。“辩圆”活动，让学生内化圆的特征和圆的本质——“圆，一中同长也”，沟通圆心、半径、直径的关系，从而由知识点→知识链→知识网，完善学生的认知结构。

“看圆—说圆—折圆—画圆—辩圆—赏圆”等系列活动过程，不仅顺应了知识发生、发展的过程，也体现了概念构建的全过程。

二、体验性活动要有助于经历数学建模的过程

《数学课程标准》指出：“数学模型”是指用数学的方式、方法刻画现实问题，从而形成解决这类问题的特定的“模型”。在教学中，教师要有“模型”意识，设计体验性活动，引导学生把“生活问题”上升为“数学问题”，从“生活世界”逐步走向“数学世界”，进而上升为“符号世界”，发展学生的数学素养。

例如，人教版三年级《面积和面积单位》一课，要建立“面积”这一数学模型，需要理解“物体表面的大小”“封闭图形”“封闭图形的大小”等概念。“物体表面的大小”可以让学生借助生活经验进行感知和理解，而“封闭图形”则需要学生依靠体验直观图形来建立概念。因此，设计体验性活动，要为学生的认知创设必要的活动情境，提供观察和研究的对象，才能引导学生经历数学模型的建立过程。第一个环节：充分感知——观察、感受“物体表面的大小”。指一指：我们身边有很多物体，如黑板、幕布、书本、课桌等，它们的表面在哪？摸一摸：摸一摸这些物体的表面，有什么感觉？比一比：这些物体的表面，哪个大一些？哪个小一些呢？在大量直观、实践、体验活动中，学生能充分感知“面”是什么，进而建立“物体表面的大小”这一概念的表象；接着运用“面积”说一说：黑板的表面比课桌的表面大，现在还可以怎么说？生活中还在哪里听到过面积？这一环节让学生经历了从生活直观认识到较为深入理解这一过程。第二个环节：提炼抽象——建立“封闭图形”的概念，并在此基础上观察、感受“封闭图形”的大小。物体表面有面积，图形是否也有面积呢？教师出示5个图形，并编上序号。

提问：你觉得这五个图形中，哪些图形是有面积的？为什么④、⑤号没有面积？能给⑤号动个小手术，让它有面积吗？通过刚才的活动，说说怎样的图形才有面积。这一直观情境的创设，看似简单，但其内涵丰富，特别是“给图形动个手术”这一体验性活动，强化了学生对“围成”“封闭图形”及“面积”概念的理解，是学生自我感悟的重要环节，能有效地反映学生提炼与抽象的过程，提升学生的认知能力。

建构主义认为：学生的建构不是教师传授的结果，而是通过亲身体验，通过与学习环境的交互作用来实现的。“物体的表面及大小”是什么？说不清，道不明，但只要动手通过“指一指”“摸一摸”“比一比”等活动体验，学生就能做到心中有数了。通过给图形做手术，将④、⑤两个图加上线“围”起来这一直观动态的过程，让学生形象理解“面积是指一个确定区域（封闭图形内）的大小”。通过科学设计体验性活动，引导学生经历从“生活经验”上升到“数学抽象”的过程，经历数学知识的“产生、抽象与完善”的过程，有利于学生建构完整的数学模型。

三、探究性活动要有助于经历思维发展的过程

小学生的思维是从形象思维向抽象思维不断发展的。数学概念的抽象决定了教师要引导学生经历“动作表征—图形表征—符号表征”的过程。不同思维层次的提升，体现了数学抽象化程度的不断提高，使数学发现更具有一般性和普遍性。因此，教师要把握好学生的学习心理，挖掘教材的思维内涵，设计探究性活动，促进学生数学思维的发展。endprint

例如，人教版四年级《三角形边的关系》一课的教学，教材从小明上学走哪条路最近出发，引入新课。根据学生已有的生活经验和思维习惯，走直线最近这是理所当然的。因此，从情境图到探究“三角形三边的关系”的数学问题，是老师要学生研究的，而非学生自己要研究的。笔者认为，可以重组教材，首先创设矛盾冲突，激发学生对三边关系这一问题的探究需求和欲望，然后再引导学生经历“合理猜测—探究验证—分析说理—归纳提炼”等探究活动过程，让学生从直觉感受上升到理性认识，最后完整归纳得出三角形三边的关系，这样更有利于培养学生归纳、判断和推理的能力。于是笔者设计了如下活动：

首先谈话激疑，创设矛盾：什么是三角形？给你三根小棒，你能围成一个三角形吗？小组合作，每位同学在各自小组选一组小棒来摆一摆。每个小组内提供四套不同颜色的小棒，规格分别是：①6cm、7cm、8cm，②5cm、5cm、5cm，③4cm、5cm、9cm，④3cm、6cm、10cm。

选中①②组小棒的同学能摆成三角形，而选中③④组的却怎么也摆不成。“说能围成，做却不能；同伴能围，我却不能。”在这双重矛盾的强烈冲击下，学生产生迫不及待的探究欲望，变“要我研究”为“我要研究”；接着引发猜想、操作验证：“有三根小棒却摆不成三角形，这是为什么呢？”分两个层面提问学生，一是围不成的同学：“你围成了三角形吗？为什么没有围成？”二是围成的同学：“你围成了三角形吗？你知道围成的原因吗？”在交流与探究中逐步引发学生产生猜想：“任意两根小棒长度的和一定比第三根长”，培养学生的合理猜想与判断能力；“有什么办法可以说明你们的猜想是正确的？”小组讨论、反馈验证方法：直接比较法、增长法、剪短法、数据分析验证法等。教师提供表格，学生选择数据分析法开展验证，通过小组汇报自己的发现，引导学生具体分析，同一组小棒中要任意两根小棒的长度和大于第三根才能围成三角形，明白只要其中两根的和等于或小于第三根，都不能围成三角形，有效突破对“任意”二字的理解。然后引导学生从三角形实物转化到三角形图形，从直觉感受上升到理性认识；最后从“任意两根小棒的长度和大于第三根才能围成三角形”完整归纳得出三角形三边的关系：“三角形任意两边的和大于第三边”，培养学生的归纳、推理能力。

整个活动设计中，教师以学生的学习心理为基础，引导学生通过大胆猜想，积极验证和合理归纳，使学生在学习新知识的同时，学习了猜想、验证、归纳、推理等科学探究方法，有效激活了学生的数学思维，提升了学生的思维品质。

数学的发展过程，大致可分为三个阶段：数学发现过程—数学完善过程—数学应用过程。由以上几个案例的探讨可见，针对每个过程，我们都应精心设计与其水平相应的数学活动。实践表明：充分考虑有效数学活动的组织策略，才能使我们的课堂教学在不同水平的数学活动的相互交融递进中更好地达成课程标准强调的过程性目标。endprint

例如，人教版四年级《三角形边的关系》一课的教学，教材从小明上学走哪条路最近出发，引入新课。根据学生已有的生活经验和思维习惯，走直线最近这是理所当然的。因此，从情境图到探究“三角形三边的关系”的数学问题，是老师要学生研究的，而非学生自己要研究的。笔者认为，可以重组教材，首先创设矛盾冲突，激发学生对三边关系这一问题的探究需求和欲望，然后再引导学生经历“合理猜测—探究验证—分析说理—归纳提炼”等探究活动过程，让学生从直觉感受上升到理性认识，最后完整归纳得出三角形三边的关系，这样更有利于培养学生归纳、判断和推理的能力。于是笔者设计了如下活动：

首先谈话激疑，创设矛盾：什么是三角形？给你三根小棒，你能围成一个三角形吗？小组合作，每位同学在各自小组选一组小棒来摆一摆。每个小组内提供四套不同颜色的小棒，规格分别是：①6cm、7cm、8cm，②5cm、5cm、5cm，③4cm、5cm、9cm，④3cm、6cm、10cm。

选中①②组小棒的同学能摆成三角形，而选中③④组的却怎么也摆不成。“说能围成，做却不能；同伴能围，我却不能。”在这双重矛盾的强烈冲击下，学生产生迫不及待的探究欲望，变“要我研究”为“我要研究”；接着引发猜想、操作验证：“有三根小棒却摆不成三角形，这是为什么呢？”分两个层面提问学生，一是围不成的同学：“你围成了三角形吗？为什么没有围成？”二是围成的同学：“你围成了三角形吗？你知道围成的原因吗？”在交流与探究中逐步引发学生产生猜想：“任意两根小棒长度的和一定比第三根长”，培养学生的合理猜想与判断能力；“有什么办法可以说明你们的猜想是正确的？”小组讨论、反馈验证方法：直接比较法、增长法、剪短法、数据分析验证法等。教师提供表格，学生选择数据分析法开展验证，通过小组汇报自己的发现，引导学生具体分析，同一组小棒中要任意两根小棒的长度和大于第三根才能围成三角形，明白只要其中两根的和等于或小于第三根，都不能围成三角形，有效突破对“任意”二字的理解。然后引导学生从三角形实物转化到三角形图形，从直觉感受上升到理性认识；最后从“任意两根小棒的长度和大于第三根才能围成三角形”完整归纳得出三角形三边的关系：“三角形任意两边的和大于第三边”，培养学生的归纳、推理能力。

整个活动设计中，教师以学生的学习心理为基础，引导学生通过大胆猜想，积极验证和合理归纳，使学生在学习新知识的同时，学习了猜想、验证、归纳、推理等科学探究方法，有效激活了学生的数学思维，提升了学生的思维品质。

数学的发展过程，大致可分为三个阶段：数学发现过程—数学完善过程—数学应用过程。由以上几个案例的探讨可见，针对每个过程，我们都应精心设计与其水平相应的数学活动。实践表明：充分考虑有效数学活动的组织策略，才能使我们的课堂教学在不同水平的数学活动的相互交融递进中更好地达成课程标准强调的过程性目标。endprint

例如，人教版四年级《三角形边的关系》一课的教学，教材从小明上学走哪条路最近出发，引入新课。根据学生已有的生活经验和思维习惯，走直线最近这是理所当然的。因此，从情境图到探究“三角形三边的关系”的数学问题，是老师要学生研究的，而非学生自己要研究的。笔者认为，可以重组教材，首先创设矛盾冲突，激发学生对三边关系这一问题的探究需求和欲望，然后再引导学生经历“合理猜测—探究验证—分析说理—归纳提炼”等探究活动过程，让学生从直觉感受上升到理性认识，最后完整归纳得出三角形三边的关系，这样更有利于培养学生归纳、判断和推理的能力。于是笔者设计了如下活动：

首先谈话激疑，创设矛盾：什么是三角形？给你三根小棒，你能围成一个三角形吗？小组合作，每位同学在各自小组选一组小棒来摆一摆。每个小组内提供四套不同颜色的小棒，规格分别是：①6cm、7cm、8cm，②5cm、5cm、5cm，③4cm、5cm、9cm，④3cm、6cm、10cm。

选中①②组小棒的同学能摆成三角形，而选中③④组的却怎么也摆不成。“说能围成，做却不能；同伴能围，我却不能。”在这双重矛盾的强烈冲击下，学生产生迫不及待的探究欲望，变“要我研究”为“我要研究”；接着引发猜想、操作验证：“有三根小棒却摆不成三角形，这是为什么呢？”分两个层面提问学生，一是围不成的同学：“你围成了三角形吗？为什么没有围成？”二是围成的同学：“你围成了三角形吗？你知道围成的原因吗？”在交流与探究中逐步引发学生产生猜想：“任意两根小棒长度的和一定比第三根长”，培养学生的合理猜想与判断能力；“有什么办法可以说明你们的猜想是正确的？”小组讨论、反馈验证方法：直接比较法、增长法、剪短法、数据分析验证法等。教师提供表格，学生选择数据分析法开展验证，通过小组汇报自己的发现，引导学生具体分析，同一组小棒中要任意两根小棒的长度和大于第三根才能围成三角形，明白只要其中两根的和等于或小于第三根，都不能围成三角形，有效突破对“任意”二字的理解。然后引导学生从三角形实物转化到三角形图形，从直觉感受上升到理性认识；最后从“任意两根小棒的长度和大于第三根才能围成三角形”完整归纳得出三角形三边的关系：“三角形任意两边的和大于第三边”，培养学生的归纳、推理能力。

整个活动设计中，教师以学生的学习心理为基础，引导学生通过大胆猜想，积极验证和合理归纳，使学生在学习新知识的同时，学习了猜想、验证、归纳、推理等科学探究方法，有效激活了学生的数学思维，提升了学生的思维品质。

数学的发展过程，大致可分为三个阶段：数学发现过程—数学完善过程—数学应用过程。由以上几个案例的探讨可见，针对每个过程，我们都应精心设计与其水平相应的数学活动。实践表明：充分考虑有效数学活动的组织策略，才能使我们的课堂教学在不同水平的数学活动的相互交融递进中更好地达成课程标准强调的过程性目标。endprint