华极鑫,冯维龙,姜玉秋

(吉林师范大学 数学学院,吉林 四平 136000)

1 引言

1838年P.F.Verhulst[1]提出震撼生物数学界的Logistic方程后，引起了人们对生物种群数量和结构的变化探索的高潮，随后刻画种群间的相互作用的模型也不断涌现.1963年 Rosenzweig和MacArthur提出反映捕食者捕获能力强弱的功能性反应函数是双曲线的Rosenzweig-MacArthur[2]模型，更加贴近了生态种群相互作用的真实状态.但是前人在建立模型时没有将捕食者种群的自身密度限制体现出来，直到1974年，Bazykin参考Rosenzweig-MacArthur模型，在此基础上添加了密度制约项，建立了Bazykin模型[2]：

(1)

Bazykin模型更好了描述了捕食者种群的自身密度制约[3]，更好的完善了种群间相互作用模型.其中N(t)和P(t)分别为tt时刻食饵和捕食者种群的数量；r为食饵在自然状态下的内禀增长率；K为环境能容纳此种群个体的最大数量；c为捕食者对食饵的搜寻相遇的几率；χ为捕食者吃掉食饵后的能量转化率；δ'0代表没有食饵情况下捕食者的死亡率；δ'1代表捕食者自我密度制约的系数；d为度量捕食者对食饵需求程度的标准，体现出捕食者对食饵的需求程度，捕食者对食饵需求越大，d反而越小.

如果在捕食者食饵生存的小生境D中产生对捕食者有利的因素，增大了捕食者与食饵的相遇几率[4]和捕获食饵的几率(例如，人们大量砍伐森林，让食饵没有躲藏之处，捕食者更容易的发现捕获食饵)等，捕食者的死亡率和密度制约系数也都随之改变，假设模型在没有食饵情况下捕食者的死亡率和自我密度制约的系数比值不变，据此建立模型：

(2)

系统(2)中e为对捕食者有利程度的系数；δ0为捕食者有利情况下没有食饵时死亡率；δ1为捕食者有利情况下的密度制约系数.加上对捕食者有利的因素后捕食者在平衡点的数量就会大于不加有利因素时捕食者的数量，这样也保证了捕食者在不能预计和不能克服的自然状况下不至于灭绝.下面本文将对系统(2)的稳定性态详细分析.

2 系统分析

为下文方便，我们用下列记号：

(i)考虑到实际生物学意义，我们在D={(N，P)|N≥0,p≥0}上研究系统(2).

令

(3)

定理1 系统(2)在区域D上没有闭轨线.

证明 选取Dulac函数B(N,P)=N-1P-1,由计算得

由Dulac判据知，系统(2)在区域D内不存在闭轨线.

定理2 系统(2)的平衡点ο(0,0)是鞍点.

定理3KN0时，E(K,0)是鞍点.

.

当K0,β>0，故E(K,0)是稳定结点；当K>N0时，有β<0，故E(K,0)是鞍点.

定理4K>N0时，系统(2)存在唯一的正平衡点E'(N*,P*)，并且是局部稳定的.

证明 先证明E'(N*,P*)的存在性和唯一性.即f1(N,P)=0和f2(N,P)=0有交点.

由零点定理知存在N0≤N*≤K,使F(N*)=0,即存在正平衡点E'(N*,P*).因h(N)是关于N的递增函数，故在[N0-1,K+1]上存在唯一的N*,从而E'(N*,P*)唯一.

下证E'(N*,P*)是局部稳定的.

有

故有α>0，β>0,因此E'(N*,P*)是局部渐近稳定的.

3 生物意义

根据系统(2)，在有利于捕食者捕获食饵的情况下，捕食者在平衡点的数量P*会比不加有利因素时的捕食者数量大.对于濒临灭绝[5]危机的捕食者种群来说，我们可以人工进行辅助，给予捕食者有利的生存条件，增加捕食者与食饵的相遇机会和捕获机会，这样能保证捕食者在有其它突发自然状况下不至于灭绝，而且能使稀珍品种的捕食者繁殖壮大，有害无益的食饵繁殖得到控制，直到捕食者和食饵数量分别达到P*，N*时，两种群相互作用达到平衡状态.系统(2)的建立，可以指导人们解决和缓解在实际生态中种群灭绝的问题，从而达到保护珍稀物种，抑制那些大量繁殖而又对人们无益处的种群的目的，实现生态平衡稳定.

参考文献：

[1]马知恩.种群生态学的数学建模与研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996.

[2]Peter Turchin.Complex population dynamics:Generalized Lotka-Volterra Models[J].Princeton university press,2003:94-99.

[3]马知恩,周义仓.常微分方程定性与稳定性理论[M].北京:科学出版社,2001.

[4]姜玉秋.Turchin-Batzli捕食者-食饵系统的定性分析[J].东北师大学报,2006,38(4):17-21.

[5]尚玉昌.普通生态学[M].北京:北京大学出版社,2002.