陈露蕾

课间，学生X拿着一道题是进办公室，让我助他一臂之力. 题目如下：

某木材加工厂有甲、乙、丙、丁四个小组制造学生使用的桌子和凳子，甲组每天能制造8张桌子或10条凳子，乙组每天能制造9张桌子或12条凳子，丙组每天能制造7张桌子或11条凳子，丁组每天能制造6张桌子或7条凳子，现在桌子和凳子要配套制造，问：21天中这四个小组最多可制造多少套桌凳？

审完题，我确定了这是一道在整数范围内解不定方程的问题，于是很快在草稿纸上写下以下过程：

设甲、乙、丙、丁四个小组分别用x，y，u，v天生产桌子，其余时间生产凳子，并恰好满足要求.

则有8x + 9y + 7u + 6v = 10（21 - x） + 12（21 - y） + 11（21 - u） + 7（21 - v），

整理，得18x + 21y + 18u + 13v = 40 × 21.①

待求8x + 9y + 7u + 6v② 在满足① 式条件下的最大整数值.

手中疾速挥动的笔此刻突然尴尬地停了下来，只有一个已知的四元一次不定方程，怎样确定所得到的非负整数解能让 ② 式取得最大值呢？无奈之下，我与学生X开始尝试寻找方程 ① 的特解，再观察这些解的变化对 ② 式值的影响，多次尝试后，终于找到方程 ① 的一组解，使得 ② 式的值与标准答案一致.

生X走后，我对这道让我身陷尴尬的题目耿耿于怀，于是上网搜索它的标准解答，结果如下.

解：设甲组制造桌子x天，制造凳子（21 - x）天；乙组制造桌子y天，制造凳子（21 - y）天；丙组制造凳子21天，丁组制造桌子21天，则四组21天共制造桌子[8x + 9y + 6 × 21]件，制造凳子[10（21 - x） + 12（21 - y） + 11 × 21]件，由题意，得8x + 9y + 6 × 21 = 10（21 - x） + 12（21 - y） + 11 × 21，

即6x + 7y = 189，y = .

设生产的桌凳总套数为w套，由题意，得

w = 8x + 9y + 6 × 21 = x + 369.

∵ 0 ≤ x ≤ 21，w随x的增大而增大，且w须为整数，

∴ x = 21时，y = 9，w最大值为375.

∴这21天中四个小组最多可制造375套桌凳.

它的解题思路与我并无两样，却因为有了“丙组制造凳子21天，丁组制造桌子21天”这两个关键条件的出现，将四元一次不定方程转化为二元方程，得以顺利解出答案. 而这两个条件的出现是否合理？……