☉福建省龙岩市第一中学 胡寅年

赏析以“四个面都是直角三角形的三棱锥”为载体的立体几何命题

☉福建省龙岩市第一中学 胡寅年

引例 已知矩形ABCD，AB=1，BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）.

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D.对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

这是2012年浙江卷选择题最后一题，难度不小，旨在考查学生空间想象能力和分析问题的能力.

如图1，在硬纸板构成的三棱锥B-ACD中，AB=DC=1，AD=BC=，BD=，显然△ABD与△BCD都是直角三角形.当AC的长度恰好为1时，容易证明△ABD，△ACD也都是直角三角形，由此得到三棱锥B-ACD四个面都是直角三角形，于是BA⊥平面ACD，所以AB⊥CD.

有趣的是，以“四个面都是直角三角形的三棱锥”为载体的立几题，2013年又在多个省市高考试卷中出现.如：

辽宁卷第18题、浙江卷第20题、湖北卷第19题、安徽卷第19题等.

为什么有关“四个面都是直角三角形的三棱锥”问题受到高考命题专家的如此青睐？道理十分明白：这类题①既源于课本，又高于课本；②基本图形是最简单的几何体之一——三棱锥；③覆盖立体几何中点、线、面的各种位置关系，以及各种角的计算，又突出了“垂直关系”这个主旋律，还能涉及平几、代数、三角的大量知识.因此，“四个面都是直角三角形的三棱锥”是探究空间线线、线面、面面垂直关系的一个十分重要的基本图形.

一、知识要点

如图2，在三棱锥S-ABC中，只要满足下列条件之一：

①SA、AB、BC两两互相垂直；……