☉江苏省海安县曲塘中学附属初级中学 刘凤兰

在解题中体验成功 在解题中提升思维

☉江苏省海安县曲塘中学附属初级中学 刘凤兰

题目 （2013年江西卷）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程.

（1）操作发现.

（2）数学思考.

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程.

（3）类比探索.

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状.

解析：（1）①②③④.

（2）MD=ME，MD⊥ME，

（Ⅰ）MD=ME.

如图4，分别取AB，AC的中点为F，G，连接DF，MF，MG，EG.

所以MF=EG.

同理可证DF=MG.

因为MF∥AC，

所以∠MFA＋∠BAC=180°.

同理可得∠MGA+∠BAC=180°

所以∠MFA=∠MGA.

又因为EG⊥AC，所以∠EGA=90°.

同理可得∠DFA=90°，所以∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，即∠DFM=∠MEG.

又MF=EG，DF=MG，

所以△DFM≌△MGE（SAS），所以MD=ME.

（Ⅱ）MD⊥ME.

证法一：因为MG∥AB，所以∠MFA+∠FMG=180°.

又因为△DFM≌△MGE，所以∠MEG=∠MDF.

所以∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°，其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，所以∠DME=90°.即MD⊥ME.

证法二：如图5，MD与AB交于点H.

因为AB∥MG，所以∠DHA=∠DMG.又因为∠DHA=∠FDM+∠DFH，即∠DHA=∠FDM+90°.

因为∠DMG=∠DME+∠GME，所以∠DME=90°，即MD⊥ME.

（3）等腰直角三解形.

评注：此题以课题学习为蓝本，循序渐进、层层深入，形成问题串，考查学生合理猜想的数学感觉与构建数学模型，以及数学归纳、抽象、概括等能力.（1）由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=45°也正确；（2）直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1中△DFM≌△MGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MD⊥ME就是要证∠DME=90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF，△DFM中三个角相加为180°，∠FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME=90°.（3）只要结论，不要过程，由（2）合情推理知为等腰直角三解形.解决问题的关键是取中点，利用“三角形中位线”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”创造……