赵新华，张高嫄，庄宝玉，杨祥龙

(1. 天津大学环境科学与工程学院，天津 300072；2. 天津市城市规划设计研究院，天津 300201；3. 天津市津能滨海热电有限公司 300451)

随着社会经济的迅速发展与人民生活水平的日益提高，水资源已逐渐成为城市进步与发展的限制性因素．而作为城市重要基础设施的供水管网，其安全可靠地运行是人民正常生产生活的最重要保障．在供水管网性能评价的研究中，学者们大多着眼于管网的水力安全性能，常常忽视了管网的水质可靠度问题．当管网发生爆管、漏损等水力事故时，影响范围仅局限于事故管段及周边管段；而当管网某处水质出现异常时，其下游管网所有用户都将受到影响．可见，管网水质问题与水力相比，影响范围更大，且发生事故后更难处理．因此，从水质角度出发研究管网的可靠性评价方法更有意义和价值．笔者提出了一种基于路径熵思路的管网水质评价方法，推导了以余氯指标表征的管网节点水质熵计算公式，定义了水质最大熵与水质相对熵并建立了计算模型，为供水管网水质评价与安全评估提供了理论依据．

1 管网水质指标

水在配水管网中的流动与停留，会受到来自管道的物理、化学以及生物污染．为了更好地研究管网中水质的变化规律，首先应该选择具有代表性的水质指标来表征管网水质的安全性．常用的管网水质评价指标包括余氯、浊度、细菌总数、水龄等．许多试验研究表明，管网水的浊度、水温、pH 值、微生物均可影响水中余氯的衰减[1]，而余氯又对管网水中微生物的再生长起控制作用[2]，故余氯是评价管网水质生物和化学稳定性的重要指标；我国城市净水厂绝大多数采用氯消毒，按国家住建部要求各水司都设有管网余氯在线监测系统，可实时获得管网余氯数据．因此笔者采用余氯作为表征水质安全可靠性的指标．

下面介绍一下管网中余氯衰减公式与节点余氯计算方法[3]．

1.1 余氯衰减公式

水在配水管网中通常会受到来自管道的二次污染，因此氯在水的输配过程中呈现出一种衰减的趋势，且通常采用一级反应来描述这个衰减过程，即

式中：t为反应时间，h；k0为反应速率常数；c0为t＝0时刻的余氯质量浓度，mg/L；ct为t时刻的余氯质量浓度，mg/L．

1.2 节点余氯计算方法

当管网中某节点有多条上游管段时，该节点余氯浓度为上游管段汇入节点混合前(即管段终端)余氯浓度的流量加权，计算式为

式中：U(j)为节点j的上游节点的集合；cj为节点j的余氯质量浓度，mg/L；ci为节点i的余氯质量浓度，mg/L；qij为ij管段流量，L/s；cij为ij管段的终端余氯浓度(即经ij管段水流汇入节点j混合前的余氯浓度)，mg/L．

2 信息熵在供水管网中的应用

熵原本用来描述热力学第二定律，1948 年Shannon[4]提出了信息熵的概念，用于表征信源的不确定性．他利用信息与事件发生概率互为倒数的关系，定量地度量了在某个概率空间下事件发生的不确定性，其表达式为

式中：S为信息熵；K为任意正常数，通常取值为 1；pi为事件在i(1，2，3，…，n)情况下的发生概率．

其中，概率函数pi满足

式中pi(i＝1，2，3，…，n)构成了整个概率空间．

随着信息熵的应用领域不断扩大，Awumah等[5-6]于1990 年首次将信息熵应用于给水管网冗余度和可靠度的计算中，但他所定义的概率空间中概率事件并不是相互独立的．Tanyimboh 等[7-8]提出了更为合理的系统熵的概念，介绍了利用路径的思路求解管网最大熵的方法，并对熵在管网水力可靠度和优化设计中的应用进行了研究[9-10]．文献[11]系统阐述了路径熵的计算模型．在这些研究中，研究者大多以信息熵作为量化指标从拓扑结构冗余性和管段流量分配均匀性两方面入手对管网的可靠性进行评价，但忽略了水质因素对于管网可靠性的影响．文献[12]曾提出过水质熵的概念，但未给出水质熵的物理意义，也缺乏熵值计算公式的推导过程．笔者利用路径方法重新定义了水质熵的计算模型，并对水质熵进行了详细而系统的推理与阐述．

3 水质熵的定义

3.1 路径方法

Tanyimboh 等[7]在求解管网最大熵时已经利用了路径的概念，文献[11]曾阐述过路径熵的概念，即称度量水流对路径选择不确定性程度的信息熵为路径熵，文中阐述的路径熵仅考虑了管网中的流量分配，本质上反映的是管网的水力性能，而忽略了水质性能.笔者将仅考虑水力性能的路径方法拓展到水质评价中，以此构成如下概率空间建立了管网水质熵模型．

3.2 概率空间

根据节点余氯式(2)可知，节点汇入总流量与节点余氯浓度的乘积等于各上游管段流量与该管段终端余氯浓度乘积之和．若将此概念扩展到路径概念中，即可得到以下结论：节点路径流量之和与节点余氯浓度的乘积等于各路径流量与该路径终端余氯浓度乘积之和．用公式表示为

基于此理论基础，定义概率空间为

由式(5)可推知关系

因此，上述定义的概率事件满足关系式(4)．基于上述概率空间与信息熵的表达式(3)，定义节点水质熵公式为

3.3 节点水质熵计算公式的推导

由式(8)可知，节点水质熵的计算需已知该点所有路径的路径流量，但在实际管网的分析计算中只能获取类似管段流量这类较为宏观的数据，根本无法获得微观上的路径流量．故式(8)只能作为定义式而不能对节点水质熵进行求解．因此，对节点水质熵的计算公式进行了如下推导．

如图 1 所示，设a1、a2、a3分别为j的上游节点，从水源点到a1、a2、a3的路径数分别为k、m和n-m-k个．每个路径均有各自的路径流量和路径终端余氯浓度，即a1、a2、a3分别对应着各自的集合，即

图1 节点关系示意Fig.1 Schematic diagram of nodes relationship

基于路径流量性质的推导[11]，有关系为

将式(9)带入式(8)分别计算a1、a2、a3的水质熵，可得

设管道内余氯衰减服从一级反应动力学方程(2)，即

设ca1j、ca2j、ca3j分别为管段a1,j、a2,j、a3,j末端余氯质量浓度，将节点余氯计算式(3)推广到路径，可知

根据节点水质熵定义式(8)可知

将式(9)～式(15)带入式(16)，经数学整理可得到j点的水质熵计算公式为

在评分标准上，2018年全国职业院校导游技能大赛规程中规定，参赛选手总分为100分，其中导游知识测试占10%，自选景点讲解占35%，现场导游词创作与讲解占30%，导游英语口语测试占10%，才艺运用占15%，并规定了现场导游词创作与讲解的评分标准及要求（见表1）。在评分标准中，对于导游词的创作和讲解基本上占据了同等分值，甚至还超了两分，可见创作的重要性。选手在即兴讲解比赛中，是提前半小时抽取题目的，也就是说，比赛的准备时间只有30分钟，创作的难度可想而知。然而，即兴讲解词的创作并不是无章可循。

将式(17)改写为水质熵一般形式为

4 计算模型

根据推导所得的节点水质熵计算式(18)可知，节点水质熵计算包括2 部分：一部分是节点本身水质熵值计算；另一部分是上游节点熵值的继承．故根据计算公式建立如下管网节点水质熵计算模型，该模型易于计算机程序化的实现，有利于大型复杂管网的水质熵计算．图 2 将该模型计算过程以流程方式清晰、直观地表达出来．

图2 水质熵计算模型流程Fig.2 Flow chart of water quality entropy calculation

5 水质最大熵

Jaynes[13]于 1957 年提出了最大熵原理，即概率分布越均匀，事件发生的不确定性越大，此时熵值最大．本文将路径余氯含量平均分配时的水质熵定义为水质最大熵，即在理想状态下，节点从每个路径获得氯的概率相同．基于Tanyimboh 等[7]对单水源管网最大熵的推导，可知路径余氯含量平均分配的情况下，节点从每个路径获得余氯含量的概率相同，此时节点水质熵只与路径数NPj有关，因此对水质最大熵进行求解的公式为

6 管网水质可靠度

管网水质熵反映的是管网现有运行状态下余氯含量分配的均匀程度，而水质最大熵反映的是在理想状态下余氯含量均匀分配时的不确定性．因此利用相对水质熵来评价管网水质可靠度．相对水质熵计算公式为

水质可靠度能够反映管网实际运行状态下的余氯分配情况与理想状态均匀分配情况的差距．Rj越接近 1，表示管网运行状态越接近理想状态，即节点从各路径获取氯的不确定性越大，水质越可靠；反之则越不可靠，有很大改进的空间．

7 实例分析

选用了某市开发区单水源管网进行水质可靠性分析计算．通过EPANET 对管网的延时模拟，获得不同时刻管网余氯分布状况，按上述计算模型对管网节点进行相对水质熵计算可以得到各时刻节点相对水质熵．为了更直观地判断管网节点相对水质熵，根据各类用户不同用水曲线将各时刻相对水质熵按不同权重进行加权．相对水质熵权重即管网中某节点在某一时刻的相对水质熵在评价该节点相对水质熵中的重要程度．由于在用水高峰时刻管网用水量较高，水流速度较快，水龄较短，此时用户水质较好；相反在用水低谷时刻，管网中水的停留时间过长使得水质变差，故依此规律，绘制出各类用户不同时刻水质可靠度权重曲线，见图 3．该曲线主要反映不同时刻水质可靠度对评价该节点水质可靠性的贡献程度，从图3 中可以看出，各类用户的权重分配均与其各自用水量变化成相反趋势，即用水高峰时刻权重较低，用水低谷时刻权重较高．

图3 各类用户时刻相对水质熵权重曲线Fig.3 Relative water quality entropy-weighting curves of each user at different times

经过各类用户不同时刻相对水质熵加权，计算出能够反映整个管网现状的节点相对水质熵，用于表征各节点水质可靠度，并将计算结果绘制成管网等水质可靠度分布．如图 4 所示，水厂附近用户点水质可靠度较高，且从水厂到管网末稍的水质可靠度呈现出逐渐降低的趋势．随着氯在传输过程中输配路径不断加长，路径间阻力不同使得各路径传输氯的概率分布不均，故管网末梢可靠度较低．此实例管网整体水质可靠度较低，主要是由于设计管径较大，管中流速较低，且水龄较长，从而使得水质可靠度较低．因此，图中相对水质熵低于 0.3 的区域管网水质可靠度有很大提升空间．

图4 单水源管网等水质可靠度分布Fig.4 Distribution of equal water quality reliability in single-source networks

8 结 语

利用路径思路推导了管网节点水质熵计算公式，介绍了求解水质熵的计算模型，并定义了水质最大熵与水质相对熵的概念，最后将水质相对熵用于评价管网水质可靠度．此评价方法与管网余氯分布的主要区别在于，管网余氯分布仅能反映节点余氯浓度以及变化趋势等；而水质熵评价方法并不是以节点余氯浓度来表征水质，而是从余氯传输路径的角度评价管网的水质状况．

根据水质相对熵的定义可知，Rj越接近 1，管网水质越可靠，反之越不可靠．经算例分析，管网水质可靠度与管网冗余度和余氯含量输配均匀程度相关．实际工况越接近理想状态，各路径承担传输余氯任务的概率分布越均匀，管网水质可靠度越高；同时，管网冗余度越大，即传输氯的路径越多，水质最大熵越大，此时在管网理想状态下水质可靠度越高．利用相对水质熵来评价管网实际运行状态下传输余氯的路径分配情况与理想状态均匀分配情况的差距，依此方法能够找到管网结构的薄弱环节，为管网的水质安全输配改造提供依据．

本文中介绍的管网水质可靠度评价方法能够清晰直观地找到管网水质可靠度较低的区域，通过分析其影响因素，为管网有针对性的改造扩建提供了科学的依据．管网优化设计，以及系统优化等领域均可将管网水质熵作为目标函数或约束条件进行优化计算，故水质可靠性评价对管网改造优化工作具有一定的指导意义．

本文中主要利用余氯表征管网水质，在今后水质可靠度的研究中还可以考虑水龄、浊度等指标以及多种指标相结合的方法定义水质可靠度．同时，信息熵在供水管网可靠性分析中的应用一直都忽略了管网水压的重要性，其影响有待于进一步研究．

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