求解Laplace方程Dirichlet问题的一点补充
2013-11-01金启胜
金启胜
(安庆职业技术学院,安徽安庆246003)
1 预备知识
球域上Poisson公式:
其中:(ρ0,θ0,φ0)是球 BR内一点 y的球坐标;(R,θ,φ)是球面 ∂BR上动点 x的球坐标;γ 是向量x与y的夹角,显然 cosγ =cosθcosθ0+sinθsinθ0cos(φ - φ0).
类似有圆域上Poisson公式:
其中:调和函数 u 在 ∂BR上取值 f(φ),(r,θ)是圆内一点的极坐标,(R,φ)是圆周上一点的极坐标[1-3].
2 应用举例
例1[4]求解Laplace方程的Dirichlet问题:
下面进行积分运算,记
如果(a,b)中有点x= ± (2n -1)π,(n=1,2,…)时,必有
令c=a2+r2,d= -2ar,x= φ - θ,又因为0≤ φ ≤π,0≤ θ≤2π,所以有:(1)0<θ<π,-π<x<π时,
(2)π < θ<2π,-2π <x<0时,
显然u(r,θ)满足边界条件:
下面给出不用Poisson公式根据边界条件直接求解Laplace方程的Dirichlet问题:
3 结语
我们发现,运用Poisson公式求解Laplace方程的Dirichlet问题相当繁琐,既有积分运算,又有极限运算,但是有不少Laplace方程的Dirichlet问题在求解时,无需运用Poisson公式,只要选取一个合适的调和函数,通过适当数学变形,使它满足边界条件,那么该调和函数就是所求Laplace方程Dirichlet问题的解.
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