姜顺忠

（江苏省扬州中学，江苏 扬州 225009）

高中物理要求学生能够根据物理问题的实际情况和所给的条件，恰当的运用几何图形、函数图像等形式和方法进行分析、表达.另一方面，抽象思维与数学方法相结合，也是物理科学探究的基本方法.基于此，无论在高考还是物理竞赛或自主招生考试中，对学生利用数学的特点、规律进行推导、求解和合理外推的能力都提出了更高的要求.

有一道自主招生的试题：正N边形的顶点依次分布着电荷量为q，2q，4q…2N-1q的电荷，多边形中心到各顶点距离为R，求中心O处的合场强.

解法1：如图1，以多边形的中心O为原点，q与O的连线为x轴建立如图1所示的直角坐标系.现用复数来表示各个电荷产生的电场强度矢量.

电荷量为q的第1个电荷产生的电场强度矢量用复数的形式可表示为

图1

电荷量为4q的第3个电荷产生的电场强度为

电荷量为2N-1q的第N个电荷产生的电场强度表示为

以上运算应用了公式（cosθ＋isinθ）n＝cosnθ＋isinnθ，中心O处的合场强就可以用上述N 个复数的和表示.注意到E1、E2、E3、…、En是一个首项为1＝，公比为的等比数列，应用求和公式可得取复数的模即得电场强度的大小E＝｜Z｜＝

图2

图3

图4

图5

以上第1种解法应用复数表示矢量，思路清晰，容易理解，但要求学生对复数的运算比较熟练.第2种解法巧妙的应用了矢量的旋转，方法独特，但避开了复杂的数学运算，可谓小技巧解决了大问题.另外，第1种解法中可以用复数Z的幅角表示中心处场强的方向，第2种解法中可用E和……