宋 滔，王绪本

（成都理工大学 地球物理学院，成都 610059）

0 前言

在使用有限单元法进行地球物理的数值模拟时，最终需要求解一个大型稀疏线型方程组Ax＝B，而这个线性方程组往往是对称正定的。在解点源问题时，如果采用齐次边界条件，那么矩阵A只和地下电性参数有关，不包含源信息，这个时候只有列向量B包含有源信息。如果使用高斯消元法求解，那么对于每一个电源点都要进行消元和迭代，这大大增加了计算量。阮百尧［1］使用Cholesky分解法，首先将矩阵A分解为两个对称矩阵，对于不同的列向量B只需要进行一次顺代和一次回代便可以求解方程组。但是通过对计算过程的分析发现，其算法的回代过程几乎占用了整个求解过程时间的一半，没有充分利用分解后矩阵的对称性和稀疏性。在此基础上，作者对该算法进行了一定的改进。

1 大型对称稀疏矩阵的变带宽存储

对于变带宽的对称稀疏矩阵，采用二个一维数组来存储［1］，用一个一维数组G存储矩阵的下三角元素，并且以当前行的第一个非零元素开始，以另外一个数组ID存储矩阵中对角元素在矩阵中的位置，那么通过对对脚元素的索引，就可以实现对整个矩阵元素的访问。以下面的5×5对称正定稀疏矩阵为例：

这样G＝（1，2，5，1，1，2，5，1，5），ID＝（1，3，4，7，9），以下的计算均以这个矩阵为例。

2 Cholesky分解法

矩阵A是正定对称的，那么可以使用Cholesky分解法进行计算，即可以得到

从式（3）与式（4）中可以看出，下三角矩阵L中的元素对应矩阵A中下三角的元素，所以分解的结果矩阵L可以使用存储A的二个一维数组来存储索引。……