沈卫国

（《区域供热》杂志编辑部，北京 100026）

一、基础微积分导数推导中的“贝克莱悖论”

众所周知，牛顿等在微积分导数的推导过程中，会产生所谓“贝克莱悖论”。就以最简单的二次函数y＝x2为例，牛顿等对其导数的推导步骤为：

令Δx→0，则有

见图1所示。图中B点沿曲线趋近A点，并重合。这时产生一个问题：当Δx→0而Δx≠0时，式（1）等号右边的Δx≠0，最后结果2x显然得不到；但当Δx＝0时，数学中分母不能为0，此式为“不定式”，是非法的。此即著名的“贝克莱悖论”。

图1

二、传统微积分理论中对“贝克莱悖论”的解决方案及其问题

微积分在牛顿、莱布尼茨时代，不甚注重严格性。推导中的粗疏和不严格之处并未引起多大注意。只是在贝克莱提出这个著名悖论后，方才引起人们的重视。其后，经过欧拉、拉格朗日、波尔查诺、柯西、达朗贝尔等的工作，终于得到现在已成经典的“ε－δ方法”［1］［2］。一般认为，这一方法本质上是建立在潜无穷观上的，它允许Δx→0，但Δx≠0，取极限后，用人为“定义”的方法令这个极限值即为该点的函数值，以保持函数在该点的连续性。此方法只是表面上消除了牛顿求导方法中的在Δx＝0时的贝克莱悖论问题。［1］但实际上，由于此种方法的人为性，它并未给出在某点的导数求解过程中，在该点究竟发生了什么。它号称“求出”了某点的某值，又不允许到达该点而獉只能无限接近，同时该点函数之值又被人为“定义”也就是“规定”出而非求出它刚好能够（可视为“碰巧”）等于该点所具有的、别的点趋近于它的“极限”值。如此拖泥带水的方法很不自然，不能令人满意。……