林 双，杨秀良

（杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036）

对称逆半群到部分变换半群上的同态

林 双，杨秀良

（杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036）

设ISn和PTn分别是集合Xn＝｛1，2，…，n｝上的对称逆半群和部分变换半群.文章刻画了ISn到PTn上的所有同态.

同态；同态核；同余

令Xn＝｛1，2，…，n｝.集合Xn上的所有部分变换在复合运算下构成的半群称作是Xn的部分变换半群，记作PTn.Xn上的所有部分单变换在复合运算下构成的半群称作是Xn的对称逆半群，记作ISn.Xn上的所有全变换在复合运算下构成的半群称作是Xn的全变换半群，记作Tn.本文规定复合运算从右到左：对任意的变换α，β和任意的x∈Xn有αβ（x）＝α（β（x））.

1997年，Schein和Teclezghi[1]刻画了对称逆半群ISn上的自同态.随后在1998年，他们又分别给出了全变换半群Tn和部分变换半群PTn的自同态[2－3].2009年，Ganyushkin和Mazorchuk在他们的著作中讨论自同态时提出了一个公开问题[4]133：描述从S到T的所有同态（单同态，满同态），其中S，T∈｛PTn，Tn，ISn｝.本文刻画了ISn到PTn的所有同态.

1 主要结果

先介绍一些符号和概念.设Sn，n分别是Xn上的置换群和交错群.当n≠4时，Sn的非平凡的正规子群只有n.当n＝4时，S4的非平凡的正规子群除了4外，还有另一个4，称作Klein四元群.变换α的秩rank（α）定义为α象im（α）的基数.设S∈ ｛PTn，ISn｝.S的每个理想都具有以下形式（[4]，Theorem 4.3.1）：Ik＝ ｛α∈S：rank（α）≤k｝，0≤k≤n.S的每个D- 类都具有以下形式（[1]，Theorem 4.5.1）：Dk＝ ｛α∈S：rank（α）＝k｝，0≤k≤n.半群S的自同构都是内自同构（[4]，Theorem 7.1.3）.

设α，β∈S为下面的形式：

其中k∈Xn，集合A1，…，Ak，Ak＋1是两两不交的，μ∈Sk.若S＝ISn，则 A1＝ … ＝ Ak＝1.设ρα＝A1∪ … ∪Ak＋1是Xn的一个划分.定义S上的H-关系（[4]，Theorem 4.5.1）为：αHβ当且仅当im（α）＝im（β）且ρα＝ρβ.

对每个k＝1，2，…，n和Sk的每个正规子群R，S上的同余或者是一致同余，或者具有形式 ≡R，R◁Sk，1≤k≤n（[4]，Theorem 6.3.10）如下：

1）若rank（α）＜k，则α≡Rβ当且仅当rank（β）＜k；

2）若rank（α）＞k，则α≡Rβ当且仅当α＝β；

3）若rank（α）＝k，则α≡Rβ当且仅……