谢明文，宋贤梅

（安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖 241000）

广义morphic环的注记

谢明文，宋贤梅

（安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖 241000）

环R称为左广义morphic的，如果对任意的a∈R，存在b∈R使得l（a）≅R/Rb，其中l（a）表示a在R中的左零化子.右广义morphic环可以类似的定义.证明了右广义morphic环R是左拟morphic环当且仅当R是左广义morphic右P－内射的.此外通过平凡扩张给出了广义morphic环一些新的例子.

广义morphic环；P－内射环；拟morphic环

0 引 言

Morphic环是由Nicholson和Campos引入并研究［1］.Chen和Zhou研究了更多有关morphic环的性质［2－5］.环R称为左morphic的，如果对任意的a∈R，有R/Ra≅l（a），等价于对每个a∈R，存在b∈R使得Ra＝l（b），l（a）＝Rb.在文［6］中Camillo和Nicholson又介绍了左拟morphic环.R称为左拟morphic环，如果对任意的a∈R，存在b，c∈R使得Ra＝l（b），l（a）＝Rc.Zhu和Ding在文［7］中介绍了广义morphic环，这种环是左拟morphic环的推广.环R称为左广义morphic环，如果对每个a∈R，都存在b，c∈R使得l（a）＝Rb，l（b）＝Rc.

在此主要讨论更多关于广义morphic环的性质.在第二部分中，笔者研究了广义morphic环，P－内射环和拟morphic环的关系.证明了如果R是右广义morphic环，那么R是左广义morphic右P－内射的当且仅当R是左拟morphic环.但是广义morphic环和P－内射环之间没有必要的联系.在第三部分里，研究了由环R及R上的双模M构成的扩张R∝M在何种情况下是左广义morphic的.例如当n≥2时，Zn∝Zn是广义morphic的当且仅当n是不同素数的乘积；若T＝R∝V，其中R是整环，V是R上的非零双模，则T∝T不是广义morphic的.一些关于morphic环的已知结果是文章结果的推论.最后一部分，证明了环R［D，C］是左广义morphic环当且仅当下面的两个式子成立：（1）D是左广义morphic环；（2）对任意的x∈C，存在y，z∈C使得lC（x）＝Cy，lC（y）＝Cz，lD（x）＝Dy和lD（y）＝Dz.

文章中的环均指有单位元的结合环，所有的模也均有单位元.下面回忆……