刘艳伟

(周口师范学院数学系,河南周口466001)

近年来,非自治微分系统周期解的存在性、唯一性及全局稳定性被数学、生态学学者广泛研究[1-5]。大量的结论表明,周期解是非自治捕食系统的一个重要性质。获取周期解的存在性条件,对保护和控制处于周期波动环境中生物种群,具有重要的指导作用。

正如Xu等[2]所指出的,捕食-食饵系统中,种群的年龄结构及在异构环境中的扩散进程在一定条件下对系统的动力学有着复杂的影响。这也是许多作者关注的焦点[2,3]。在文献[1]的基础上,Xu等[2]构造了一类捕食种群具有年龄结构、食饵具有扩散的比率依赖型生物模型,并考虑了系统系数的周期性变化,得到了该系统存在周期解的充分条件。值得一提的是,Xu等[2]的模型没有考虑食饵的年龄结构,为此,本文改进Xu等的模型为如下形式:

并且系统(1)满足初值条件

其中x和y分别表示t时刻成年食饵种群在斑块i(i=1,2)的单位密度;z1和z2分别表示t时刻幼年捕食者和成年捕食者种群的单位密度;τi>0(i=1,2,3)为孕育期;Di>0(i=1,2)为扩散率函数;β1, β2,d1,d2,d3,v0,v1,D1,D2,m和αi(i=1,2,3)均为大于零的连续ω-周期函数,其相应的生物学解释可参见文献[2]。此外,考虑到初值的连续性,本文进一步要求

为简便起见,记fL=f(t),fM=(t),其中f(。)>0是连续的ω-周期函数。

1 周期解的存在性

为了获得系统(1)周期解存在的充分条件,需要一些优先的估计。

1.1 基本引理

引理1 设λ∈(0,1)为一参数,(u1(t),u2(t),u3(t))Τ是系统

的ω-周期解。如果

成立,则|u1(t)|+|u2(t)|+|u3(t)|≤R1。

引理2 设μ∈[0,1]为一参数,(u1,u2,u3)Τ是方程组

的解,则|u1|+|u2|+|u3|≤R2。

利用比较法,容易证明引理1、引理2成立。

1.2……

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