郭晓燕， 黄 斌

（长沙理工大学 数学与计算科学学院，湖南 长沙 410114）

涉及微分多项式的亚纯函数的唯一性

郭晓燕， 黄 斌

（长沙理工大学 数学与计算科学学院，湖南 长沙 410114）

研究了涉及（fn）（k）和（gn）（k）CM分担1的唯一性问题，其中f和g是亚纯函数，所得定理在一定程度上推广了S.S.Bhoosnurmath和R.S.Dyavanal的结果.

亚纯函数；分担值；唯一性；微分多项式

1 引言及主要结果

本文采用值分布论中的标准符号，设f（z）与g（z）为非常数的亚纯函数，如果f-a与g-a零点相同（不计重数），则称a为f与g的IM分担值；如果f-a与g-a零点相同，且每个零点重数也相同，则称a为f与g的CM分担值.对于任意常数a，我们定义

近年来，许多数学工作者对亚纯函数的唯一性问题进行了研究[1-7]，特别是对函数微分多项式具有分担值的唯一性问题的研究得到了一些深刻的结果.

1997年杨重骏和华歆厚证明了下面定理：

定理A[1]设（fz）与g（z）为两个非常数的亚纯函数，n为正整数且满足n≥11，对一非零复数a，如果fnf′与gng′CM分担a，则或者（fz）=dg（z），这里的d满足dn+1=1，或者g（z）=c1e-cz且（fz）=c2ecz，这里c，c1，c2是常数，且满足（c1c2）n+1c2=-a2.

定理B[4]设f（z）与g（z）为两个非常数的亚纯函数，n，k为正整数且满足n＞3k+8.如果（fn）（k）和（gn）（k）CM分担1，则f（z）=c1ecz，g（z）=c2e-cz，其中c，c1，c2为三个常数且满足（-1）k（c1c2）n（nc）2k=1，或者f（z）=tg（z），这里的t满足tn=1.

2011年Renukadevi S.Dyavanal在定理A基础上考虑重数推广到定理C：

定理C[5]设f（z）与g（z）为两个非常数的亚纯函数，且它们的零点重数和极点重数至少为s，s，n（≥2）为正整数且满足（n+1）s≥12，如果 fnf′与gng′CM分担1，则g（z）=c1e-cz且f（z）=c2ecz，其中c，c1，c2为三个常数且满足（c1c2）n+1c2=-1，或者f（z）=tg（z），这里的t满足tn+1=1.

本文在定理B的基础上考虑重数可得到下面的定理：

定理2设f（z）与g（z）为两个非常数超越整函数，且它们的零点重数至少为s，s，n，k为正整数且满足ns＞2k+4.如果（fn）（k）和（gn）（k）CM分担1，则f（z）=c1ecz，g（z）=c2e-cz，其中c，c1，c2为三个常数且满足（-1）k（c1c2）n（nc）2k=1，或者f（z）=tg（z），这里的t满足tn=1.

2 引理

定理的证明需要以下几个引理.

引理1[4]设f（z）与g（z）为两个非常数的亚纯函数，k为正整数.若f（k）（z）与g（k）（z）CM分担1，且

引理2[2]设f（z）是一非常数整函数，正整数k≥2，若f（z）f（k）（z）≠0，则f（z）=eaz+b，其中a（≠0），b都为常数.

引理3[1]设f（z）与g（z）为两个非常数整函数，n（≥1）为整数，若fnf′gng′=1，则g（z）=c1e-cz且f（z）=c2ecz，其中c，c1，c2为三个常数且满足（c1c2）n+1c2=-1.

引理4[5]设f（z）与g（z）为两个非常数超越整函数，k为正整数.若f（k）（z）与g（k）（z）CM分担1，且

3 定理的证明

3.1 定理1的证明

3.2 定理2的证明

因为f（z）与g（z）为整函数，所以我们就有N（r，f）=N（r，g）=0.仿照定理1的证明，运用引理4即可证得结论.

[1]Yang C C,Hua X H.Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions[J].Ann Acad Sci Fenn Math,1997,22(2):395.

[2]Frank G.Eine Vermutung von Hayman fiber nullstellen meromorpher Funktion[M].Math Z,1976,149:29-36.

[3]Fang M L.Uniqueness and value-sharing of entire func⁃tions[J].Computers and Mathematics with Applications.2002,44:828-831.

[4]Bhoosnurmath S S,Dyavanal R S.Uniqueness and val⁃ue-sharing of meromorphic functions[J].Comput Math Appl,2007,53:1191-1205.

[5]Dyavanal R S.Uniqueness and value-sharing of differen⁃tial polynomials of meromorphic functions[J].Math Anal Appl,2011,374:335-345.

[6]Yang C C,Yi H X.Uniqueness Theory of Meromorphic Functions[J].Math Appl vol 557,Kluwer Academic Pub⁃lishers,Dordrecht,2003.

[7]Yang L.Value Distribution Theory,Springer-Verlag/Sci⁃ence Press[M].Berlin/Beijing,1993.

Uniqueness of Meromorphic Functions Concerning Differential Polynomials

GUO Xiaoyan，HUANG Bin
（College of Mathematics and Computing Sciences，Changsha University of Science and Technology，Changsha410114，China）

This paper studies the uniqueness of meromorphic functions concerning the case that（fn）（k）and（gn）（k）share 1 CM,where f and g are meromorphic,and establishes a uniqueness theorem that improves the results of S.S.Bhoosnur⁃math and R.S.Dyavanal.

Meromorphic function；sharing value；uniqueness；differential polynomials

O 174.52

A

1674-4942（2012）01-0017-03

2011-12-14

国家自然科学基金资助项目（11071064）

毕和平