王辉丰

（海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158）

构造奇数阶完美幻方和对称完美幻方的两步法

王辉丰

（海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158）

分别给出构造奇数n=2m+1（m为m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然数）阶完美幻方和对称完美幻方的余函数·两步法和对称·两步法及其证明.这些方法可分别得到(( n-1)!)2和2m(2m-1(( m-1)!))2个不同的n阶完美幻方和对称完美幻方.

完美幻方；对称完美幻方；余函数；两步法

文[1]、[2]讨论了奇数阶完美幻方和对称完美幻方；文[3]首次定义了余函数，并采用余函数的方法构造了奇数阶对称完美幻方；文[4]进一步利用余函数法构造奇数阶完美幻方、对称完美幻方；对奇数阶幻方制作成一种易于操作的“幻方生成器”，取得了专利权[5].在此基础上，我们改变余函数法中笫二步的顺移方式，也可构造出奇数阶完美幻方和对称完美幻方.这使余函数法成为一套较为完整的构造方法.

首先，对文[3]的余函数

（n、t是自然数，t|n 表示t被n整除，other表示其他情况，R（t）表示t除以n的余数，显然r（t）是周期函数）证明如下

预备定理 对n=2m+1（m为m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然数），当i=1，2，…，n时，则 r(( m-1)·i),r(m ·i),r(( m+1)·i) 和r(( m+2 )·i) 都各自取遍1～n的自然数.

证明 由文[4]预备定理的证明知，对n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数），当i=1，2，…，n时，r（m·i）和r（（m+1）·i）都取遍1～n的自然数.显然，对于奇数i=2k+1（k=0，1，…，m），有

r（（m-1）i）=r（m-（3k+1）），

r（（m+2）·i）=r（m+（3k+2））；

对于偶数i=2k（k=1，2，…，m），有r（（m-1）·i）=r（2m-（3k-1）），r（（m+2）·i）=r（3k）.

1）对n=2m+1=2（3t）+1=6t+1（t=1，2，…为自然数），当i=2k+1（k=0，…，t-1）时，由余函数定义知：r（（m-1）i）=r（m-（3k+1））是一个 3t-1～2公差为-3的等差有限数列；

当i=2k+1（k=t，…，3t-1）时，r（（m-1）i）=r（m-（3k+1））是一个6t～3公差为-3的等差有限数列；

当i=2k+1，k=3t时，r（（m-1）i）=r（m-（3k+1））=r（0）=6t+1；

当i=2k（k=1，2，…，2t）时，由余函数定义知：r（（m-1）·i）=r（2m-（3k-1））是一个 6t-2～1 公差为-3的等差有限数列；

当i=2k（k=2t+1，…，3t）时，知r（（m-1）i）=r（2m-（3k-1））是一个6t-1～3t+2公差为-3的等差有限数列.

以上的1～6t-2，2～3t-1，3t+2～6t-1，3～6t都是公差为3的等差有限数列.以上数列合并起来，就是1～6t的自然数，后继加上6t+1，即当i=1，2，…，n时，r（（m-1）i）取遍 1～n的自然数.

2）对n=2m+1=2（3t+2）+1=6t+5（t=0，1，2，…），当i=2k+1（k=0，…，t）时，由余函数定义知r（（m+2）·i）=r（m+（3k+2））是一个3t+4～6t+4公差为3的等差有限数列；

当i=2k+1（k=t+1，…，3t+2）时，r（（m+2）·i）=r（m+（3k+2））是一个2～6t+5公差为3的等差有限数列；

当i=2k（k=1，…，2t+1）时，由余函数的定义知：r（（m+2）·i）=r（3k）是一个3～6t+3公差为3的等差有限数列；

当i=2k（k=2t+2，…，3t+2）时，r（（m+2）·i）=r（3k）是一个3～3t+1公差为3的等差有限数列.

由以上得到的各有限数列知，1～3t+1，3t+4～6t+4，2～6t+5，3～6t+3都是公差为3的等差有限数列.将这些数列合并起来，就是1～6t+5的自然数，即当i=1，2，…，n时，r（（m+2）·i）取遍1～n的自然数.预备定理证毕.

我们分两部分讨论如下：

1 构造奇数阶完美幻方的两步法

第一步 安装基方阵.

对n=2m+1（m为m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然数），设n阶基方阵[2]A位于第i行、第j列的元素为

a（i，j）（i，j=1，2，…，n），取定a（1，m+1）=mn+1，其余n-1个基数1，n+1，2n+1，…，（m-1）n+1，（m+1）n+1，…，（n-1）n+1可随意安装到如下n-1个位置

a（m+1-k，k+1））（k=0，1，2，…，m-1），

a（m+1+k，n-k+1））（k=1，2，…，m）.

基数安装完毕后，得到基方阵A的全部基元（或站点）.安装于第j列的基元记为ncj+1（j=1，2，…，n），在每一列站点ncj+1的下方（包括该站点），自上而下按ncj+dk（k=1，2，…，n，取定d1=1，其余dk取遍2～n的自然数）的顺序安装相继的数至该列最下面的笫n行；接着，在该站点的上方，自上而下按该顺序安装后继的数，安装至全列满为止.

由文[4]基方阵A位于第i行、第j列的元素为

a（i，j）=ncj+dr（m+（i+j））（i，j=1，2，…，n）.

第二步 对基方阵A施行双移安装到另一个（待安装的）n阶方阵B.

基数a（m+1-k，k+1））（k=0，1，2，…，m-1）所在行的元素向右顺移r（k·m）（k=0，1，2，…，m-1）个位置；基数a（m+1+k，n-k+1））（k=1，2，…，m）所在行的元素向右顺移r（n-k·m）（k=1，2，…，m）个位置.

设方阵B位于第i行、第j列元素为b（i，j），方阵A第m+1-k行的元素向右顺移r（k·m）（k=0，1，2，…，m-1）个位置，所以

b（m+1-k，r（r（（m+1）·k）+h））=

a（m+1-k，r（k+h））=ncr（k+h）+dh（k=1，2，…，n）；方阵A第m+1+k（k=1，2，…，m）行的元素向右顺移r（n-k·m）（k=1，2，…，m）个位置，所以

b（m+1+k，r（r（2n-（m+1）·k）+h））=a（m+1+k，r（n-k+h））=ncr（n-k+h）+dh（k=1，2，…，n）.

由上述行的表达式可得出方阵B位于第i行、第j列的元素为

当各行都完成了这一程序之后，所得方阵B就是一个完美幻方（见下面的定理1）.为了下文叙述方便起见及区别于余函数法，这里把以上两步安装称为余函数·两步法.

由于基数安装结构可有(n -1)!种不同的选择，各列数的安装有(n -1)!种不同的选择，所以，利用以上两步法可构造出(( n-1)!)2个不同的完美幻方.

定理1 用余函数·两步法得到的n=2m+1（m为m≠3s+1，s=0，1，2，…为自然数）阶方阵B是一个完美幻方.

证明 以上已得出方阵B位于第i行、第j列的元素为

由余函数的定义、预备定理得，第i行元素的和（求和过程中，m2+mi和（m+1）m+（m+1）i（i=1，2，…，n）都是固定的）为

即各行元素之和都等于幻方常数.

第j列元素的和（在求和过程中，m2+j和（m+1）m+j（j=1，2，…，n）都是固定的）为

即各列元素之和都等于幻方常数.

过b（h，1）（h=1，2，…，n）从左上角至右下角的对角线以及与其同方向的泛对角线上的元素b（i，j）而言，有r（i-j）=h-1（h=1，2，…，n），在求和过程中，m2-h+1和（m+1）m-h+1都是固定的，所以，其上各元素之和为

即从左上角至右下角的对角线以及每一条与其同方向的泛对角线上的元素之和都等于以上幻方常数.

过b（h，n）（h=1，2，…，n）从左下角至右上角的对角线以及与其同方向的泛对角线上的元素b（i，j）而言，有r（i+j）=h（h=1，2，…，n），在求和过程中h-1和m+h-1都是固定的，所以，其上各元素之和为

即从左下角至右上角的对角线以及每一条与其同方向的泛对角线上的元素之和都等于幻方常数.

由以上事实可见，方阵B是一个完美幻方.

显然，由以上方法可得出(( n-1)!)2（n=2m+1，m为m≠3s+1，s=0，1，2，…为自然数）个不同的n阶完美幻方.

例1 构造11阶完美幻方.

根据两步法，取c6=5，c1=3，c2=6，c3=8，c4=4，c5=1，c7=0，c8=9，c9=10，c10=2，c11=7，d1=1，d2=5，d3=7，d4=10，d5=3，d6=8，d7=2，d8=9，d9=11，d10=4，d11=6.我们得到基方阵A（见图1）和一个11阶完美幻方（见图2）.

图111阶基方阵AFig.1 11-order basic square matrix A

图211阶完美幻方Fig.211-order perfect magic square

2 构造奇数阶对称完美幻方的两步法

第一步 安装基方阵.

设n=2m+1（m为m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然数）阶基方阵[2]A位于第i行、第j列的元素为a（i，j）（i，j=1，2，…，n），取定a（1，m+1）=mn+1，注意到基数列中处于中心对称位置上的两个数，其和都等于（n-1）n+2，我们共有m对这样的基数，在每对基数中随意选取一个基数，将这m个基数随意安装到如下m个位置：

a（m+1-k，k+1））（k=0，1，2，…，m-1），

令a（m+1-k，k+1））=nck+1+1（k=0，1，2，…，m-1）；余下的m个基数安装到如下m个位置：

a（m+1+k，n-k+1））（k=1，2，…，m）.

令a（m+1+k，n-k+1））=ncn-k+1+1（k=1，2，…，m），但必须满足条件ck+cn-k+1=n-1（k=1，2，…，m）.基数安装完毕后，得到方阵A的全部基元（或站点）.

取定d1=1，dm+1=m+1，dn=n，注意到 1～n的自然数列中处于中心对称位置上的两个自然数，其和都等于n+1，除d1=1和dn=n外，我们共有m-1对这样的自然数，在每对自然数中随意选取一个自然数，将这m-1个自然数随意排序依次记为dk（k=2，3，…，m）；余下的m-1个自然数记为dn-k+1（k=2，3，…，m），但必须满足条件dk+dn-k+1=n+1（k=1，2，…，m）.

在第j列基元ncj+1的下方（包括该基元），自上而下按ncj+dk（k=1，2，…，n）的顺序安装相继的数至该列最下面的笫n行；接着，在该站点的上方，自上而下按该顺序安装后继的数，安装至全列满为止.由此得到基方阵A.

第二步 与构造奇数阶完美幻方的两步法的第二步相同，所得方阵B就是一个n阶对称完美幻方（见下面的定理2）.

按以上两步可构造出2m(m !)·2m-1(( m-1)!)=2m(2m-1(( m-1)!))2个不同的n阶对称完美幻方（其中n=2m+1，m为m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然数）.

以上安装方法与构造奇数阶完美幻方的两步法的不同之处，在于对cj，dk的安装增加了对称的要求.我们不妨把以上方法称为对称·两步法.

定理2 用对称·两步法得到的方阵B是一个n=2m+1（m为m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然数）阶对称完美幻方.

证明 由定理1知，方阵B是一个n=2m+1（m为m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然数）阶完美幻方，我们只须证明方阵B是中心对称，则定理2就已成立.

方阵B位于第i行、第j列的元素为

元素b（i，j）的在其中心对称位置上的元素为

由于

r（（m2+mi+j）+（（m2+m+1）-（mi+j）））=

r（2m2+m+1）=r（mn+1）=1，

又由余函数的定义知，两个余函数的和大于1而不超过2n，所以

即方阵B的元素是中心对称的.由此可见，方阵B是一个对称完美幻方.

例2 构造一个13阶对称完美幻方.

根据对称·余函数法，取c7=6，c1=5，c2=2，c3=9，c4=12，c5=1，c6=4，c13=7，c12=10，c11=3，c10=0，c9=11，c8=8.d7=7，d1=1，d13=13，d2=9，d3=6，d4=3，d5=12，d6=4，d8=10，d9=2，d10=11，d11=8，d12=5.我们得到基方阵（略）和一个13阶对称完美幻方（略）.

[1]王辉丰,詹森.关于构造三类奇数阶幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2010,23(1):12-15.

[2]詹森,王辉丰.关于构造高阶幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(3):250-254.

[3]詹森,王辉丰.奇数阶对称完美幻方的构造方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(4):396-402.

[4]詹森,王辉丰.构造奇数阶幻方,完美幻方和对称完美幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2011,24(3):265-269.

[5]詹森,王辉丰.一种幻方生成器:中国，CN 201955957U[P/OL].（2011-08-31）[2011-09-19].http:www.sipo.gov.cn.

The Two-step Methods of Constructing Odd Order Perfect Magic Square and Symmetrical Perfect Magic Square

WANG Huifeng
（College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou571158，China）

The two-step methods of constructing oddnorder perfect magic square and symmetrical perfect magic square were given and proved.These methods may obtain(( n-1)!)2and2m(2m-1(( m-1)!))2differentnorder per⁃fect magic squares,symmetrical perfect magic square respectiwely.

perfect metrical magic square；symmetrical perfect magic；residual function；two-step method

O 157.6

A

1674-4942（2012）01-0028-04

2011-10-15

黄 澜