罗建华， 冯志明

（1.中南林业科技大学理学院，长沙 410004； 2.乐山师范学院数学系，乐山 614000）

与过程相联系的σ-代数流

罗建华1， 冯志明2

（1.中南林业科技大学理学院，长沙 410004； 2.乐山师范学院数学系，乐山 614000）

讨化了σ-代数流的结构，并给出其一般性的结果；归纳出各σ-代数流的相互关系；最后介绍其两个简单应用.

π系；σ-代数流；停时；两参数随机过程；鞅

1 引 言

σ-代数流的概念散见于各概率论、随机过程的专著及论文中，但由于一般将其作为常识性知识，对其结构关系未充分重视.受无穷乘积可测空间构造的启发，本文对σ-代数流的结构作了探讨，并给出了一般性结果，藉此全面准确理解各σ-代数流的关系.

2 预备知识

设（Ω，F，P）是完备的概率空间，X＝｛Xt，t∈T｝是其上的实值随机过程（T＝［0，∞）），可测空间（E，ε）＝（R1，B1）为其状态空间（相空间）.

引理1 设f：（Ω，F）→（E，E）为可测映射，f-1（E）是Ω中的σ-代数（称之为由f导出的σ-代数）.由此，若记σ（f）＝f-1（E），则σ（f）是σ-代数，且σ（f）⊂F.

特别地，若X＝｛Xt，t∈T｝是随机过程，则对∀t∈T，由Xt产生的σ-代数记为σ（Xt），显然σ（Xt）⊂F.

注 f-1（E）＝｛f-1（B）；B∈E｝.

定义1 （i）称F的子σ-代数族｛Ft，t≥0｝为σ-代数流，如果Fs⊂Ft，0≤s≤t.特别称σ-代数流｛Nt，t≥0｝为随机过程｛Xt，t≥0｝的自然σ-代数流（随机过程产生的σ-代数流），其中Nt＝σ（Xs，s≤t）.记N＝σ（Xt，t≥0）.

（ii）称随机过程｛Xt，t≥0｝关于σ-代数流｛Ft，t≥0｝为适应的（简称｛Xt｝为｛Ft｝适应过程），如果对每一t≥0，Xt是Ft可测（记作Xt∈Ft）.

注 若｛Fα，α∈Γ｝为F的一族子σ-代数，则其交Fα仍为σ-代数，但其并Fα一般不再是σ-代数，我们以Fα表示由它所产生的σ-代数σ（Fα）.

定义2 称定义在可测空间（Ω，F）上的非负可测函数τ（ω）（可取＋∞为值）为关于F的子σ-代数流｛Ft，t≥0｝的停时（可选时），如果对∀t≥0，有

引理2 设τ为｛Ft｝停时，令

则Fτ为σ-代数（称之为伴随停时τ的σ-代数，也称τ前σ-代数）.

显然有……