王小特

（陕西能源职业技术学院，咸阳 712000）

单调类定理的一个集合论证明

王小特

（陕西能源职业技术学院，咸阳 712000）

本文利用集合论中的序数理论和超限归纳法，给出概率测度论中一个集族生成的最小σ代数，最小λ类和最小单调类的具体形式，并给出单调类定理一个直接的证明.

单调类定理；集合论；最小σ代数；最小λ类；最小单调类

1 引言与预备

我们首先介绍概率测度论中的一些概念.

定义1.1［1］设Ω为一个集合，C为Ω的一个子集族.

①Ω∈C； ②A，B∈C，B⊂A得A－B⊂C； ③An∈C，n≥1，An↑A得A∈C.

由C生成的σ代数，λ类和单调类分别用σ（C），λ（C），m（C）表示.显然σ（C）⊃λ（C）⊃m（C）.概率测度论中单调类定理是一个重要的证明工具，集合形式的单调类定理主要研究在什么情况σ（C）＝m（C）或σ（C）＝λ（C）.

定理1.1［1］设C为一个集合.

（i）若C为代数，则m（C）＝σ（C）；

（ii）若C为π类，则λ（C）＝σ（C）.

单调类定理的证明一般采用的是构造性的证明［1］，而不采用直接的证明，直接证明的困难在于不知道集族C是如何生成最小单调类m（C），最小λ类λ（C）和最小σ代数σ（C），利用集合论中的序数理论和超限归纳法，我们可以给出σ（C），λ（C），m（C）的具体构造，从而给出单调类定理一个直接的证明.有关集合论的知识可参见［2］.

2 主要结果

设Ω为一个集合，C为Ω的一个子集族，下面我们利用超限归纳定义的方法构造C生成的最小单调类m（C），最小λ类λ（C）和最小σ代数σ（C）.

设第一个不可数序数为ω0.对任意的序数α＜ω0，假设对任意的序数β＜α，Mβ，Λβ，Σβ已经定义好了，下面我们定义Mα，Λα，Σα.

若α为后继序数，设α＝β＋1，令

若α为极限序数，则令

这样对任意的序数α＜ω0，Mα，Λα，Σα都已经定义好了.

命题2.1m（C）＝M，λ（C）＝Λ，σ（C）＝∑.

然后我们证明M是C生成的最小的单调类.设N为一个……