时统业， 谢 井， 李 鼎

（海军指挥学院浦口分院，江苏南京 211800）

论泰勒中值定理“中间点”的性质

时统业， 谢 井， 李 鼎

（海军指挥学院浦口分院，江苏南京 211800）

研究泰勒中值定理“中间点”的单调性、连续性及可导性.

泰勒中值定理；中间点；单调；连续；导数

1 前 言

文［1］研究了拉格朗日中值定理“中间点”ξ的单调性、连续性及可导性问题.本文利用文［1］的方法，研究泰勒中值定理“中间点”ξ的单调性、连续性及可导性问题，推广了文［1］的部分结果.

2 引 理

引理1（拉格朗日中值定理） 设函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，则对任意x∈（a，b］，至少存在一点ξ∈（a，x），使

引理2（泰勒中值定理） 设函数f（x）在［a，b］上有直到n＋1阶导数，则对任意x∈（a，b］，至少存在一点ξ∈（a，x），使

定义1对于在［a，b］上有直到k阶导数的函数h（x），记关于x的一元函数（k仅看作参数）

由（2）式得

n

引理3对任意正整数k，有

引理4设函数f（x）在［a，b］上有直到n＋1阶导数，记

证 （i）l＝0时，由定义，（i）显然成立.假设对某个自然数l＝m：0≤m≤n－2，有

对上式关于x求导并利用引理3，得

（ii）由定义1和结论（i）容易得证.

引理5［1］设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，且f′（x）在（a，b）内严格单调，那么

（i）满足（1）式的ξ是x的单值函数，记为ξ＝ξ（x）；

（ii）满足（1）式的点ξ＝ξ（x）是x的单调增加的函数.

引理6［1］设函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内二阶可导，且二阶导数在（a，b）内保号（恒正或恒负），则

（i）满足（1）式的点ξ＝ξ（x）是x的连续函数；

（ii）满足（1）式的点ξ＝ξ（x）是x的可导函数，其导数为

3 结 论

定理1设函数f（x）在［a，b］上有直到n＋1阶导数，且f（n＋1）（x）在（a，b）内严格单调，则

（i）满足（2）式的点ξ是x的单值函数，记为ξ＝ξ（x）；

（ii）满足（2）式的点ξ是x单调增加的函数.

证 结论（i）可由f（n＋1）（x）的单调性立得.下面证明结论（ii）.当n＝0时，由引理5知结论成立……