陈 明

（遵义师范学院数学系，贵州遵义563002）

排列问题是中学数学内容中的一个难点，主要表现在学生对其定义及表述难以理解，对解题思路及方法难以掌握。中学数学教材对排列问题的处理方式毫无异议，它主要是根据学生的认知特征来确定的，但作为教师自身仅限于此是远不够的，还应用现代数学的观点去揭示它，即弄清它的理论本质。为此，本文用集合、单射、计数的观点对排列进行了较深层次的阐释，不仅说明了现代数学与中学数学在这一部分内容的内在联系，而且有助于教师对该问题的认识。

文中所讨论的集合均为有限集。为方便，记#A表示集合 A 的元素个数，Nn=｛1，2，…，n｝表示从 1 开始的n个自然数的集合，I（Nm，A）表示映集Nm到集A所有单射组成的集合。关于集合的映射计数法，可作如下定义。

定义 若#A=n，当且仅当存在着一个双射f∶A→Nn。

显然，若 #A=ø，当且仅当 #A=0。

在定理的证明中，本文用到了如下引理。

引理[1]若函数 f∶B→D，h∶C→A 均为双射，则有等价I（A，D）≈I（C，B）

众所周知，排列问题乃计数问题，而在集合论中，运用映射计数是较为典型的思想方法，为阐明排列问题与映射的关系，先看一个简单的例子。

例1有5本不同的书，准备分给3名同学，每人1本，共有多少种给法？

将三名同学编号为1，2，3，他们组成集合N3=｛1，2，3｝。同样，5 本不同的书组成集合 A=｛a1，a2，a3，a4，a5｝。对任意一种给法：如 a5给 1；a3给 2；a1给 3，唯一确定由N3到A的一个单射（如图1）。

图1 N3到A的一个单射 图2 N3到A的任一单射

反之，由N3到A的任一单射（如图2），同样也唯一地确定了一种给法：a2给 1；a4给 2；a3给 3。

由此可看出，“给法”与I（N3，A）之间具有一一对A）。……