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(安丰中学 江苏东台 224221)

由一道“变态”高考题的几组解法引起的教学反思

●崔志荣

(安丰中学 江苏东台 224221)

1 一道“变态”的高考题

图1

(1)求椭圆的方程.

(2)设点A,B是椭圆上位于x轴上方的点，且AF1∥BF2，点P为AF2与BF1的交点.

②求证：PF1+PF2是定值.

(2012年江苏省数学高考试题)

笔者对这道高考题的解法作了一些研究，得到了一些有关解析几何复习的教学体会，和读者交流.

2 几组解法的评析

第Ⅰ组 ①解设直线AF1的方程为

x=my-1，

联立

消去x整理得

(m2+2)y2-2my-1=0，

解得

同理

因此

解得

m2=2,

②证明由AF1∥BF2，知

△PAF1∽△PF2B，

从而

即

同理

因此

由第①小题知

故

点评第①小题通过联立直线与椭圆的方程，求出点A,B的纵坐标，再用两点间的距离公式求长度，也可以设直线的点斜式方程，求点A,B的横坐标(可由AF1>BF2，利用xA>-1，xB>1来舍根).这种方法是容易想到的，但很多学生未付诸于行动，担心难于运算，这也与平时教学有关，很多教师不重视这种方法.第②小题充分利用了转化思想，抓住相似三角形，把PF1+PF2转化为AF1与BF2表示，在第①小题的基础上才能完成.

y=k(x+1)，

联立

消去y整理得

(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,

从而

(因AF1∥BF2且AF1>BF2，易知x2<-1

解得

即

设P(x,y)，则

式(1)-式(2)得

解得

代入式(2)，得

化简得

因此点P的轨迹为椭圆，焦点正好为F1与F2，故

点评第①小题巧用对称性，只需要考虑直线AF1与椭圆联立来研究点A与点B′的横坐标关系，使运算量大大减少.第②小题的解答与第①小题没有必然的关联，如何思考使用轨迹的方法呢？结论要证明PF1+PF2为定值，而F1,F2为定点，那么动点P的轨迹应是椭圆，故设点P(x,y)，再利用相似把它转移到点A,B的坐标后代入椭圆方程，最后消去参数λ，求出点P的轨迹方程.……