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(彭阳县第三中学 宁夏彭阳 756500)

对2012年江西省数学高考理科第20题的研究

●王伯龙

(彭阳县第三中学 宁夏彭阳 756500)

例1已知3个点O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)，曲线C上任意一点M(x,y)满足

(1)求曲线C的方程.

(2)动点Q(x0,y0)(-2

(2012年江西省数学高考理科试题)

本题综合的考查了圆锥曲线上的动点、切线及其三角形面积等相关知识.当笔者看到该题后的第一感觉是第(2)小题在设置上立意新颖，独具匠心，凝聚了命题专家的灵感与智慧，值得继续学习与研究.

易得曲线C的方程为：x2=4y.对于第(2)小题，探究的结果是存在定点P(0,-1)，使得△QAB与△PDE的面积之比是常数2.仔细分析题中的条件和得出的结论，不难发现：点P(0,-1)恰是抛物线C的准线y=-1与对称轴的交点，已知点A与点B的连线过抛物线的焦点(0,1)，容易验证PA，PB恰是抛物线的2条切线，因而第(2)小题得到的结论是特殊的情形，一般化可得：

图1

又DE:2pty=p(x+2pt2)，即

DE:2ty=x+2pt2.

(1)

(2)

(3)

(4)

将式(1)，式(2)代入式(4)化简得

(5)

y2-2ny-p2=0，

由根与系数的关系得

y1+y2=2n,y1y2=-p2.

因此

(2pt-y1)(2pt-y2)=4p2t2-2pt(y1+y2)+y1y2=4p2t2-4ptn-p2，

将其代入式(5)化简得

(6)

由式(3)和式(6)得

将结论1中“过准线l上任意一点”推广为“过定直线l:x=-m(m>0)上任意一点”，结论是否成立？经过尝试，便有如下的结论.

证明如图1，设动点Q(2pt2,2pt)，P(-m,n)，A(x1,y1)，B(x2,y2),则切点弦

PA：y1y=p(x+x1)，PB:y2y=p(x+x2),AB:ny=p(x-m).

又DE:2pty=p(x+2pt2)，即

DE:2ty=x+2pt2.

(7)

将式(1)，式(2)代入式(7)化简得

(8)

y2-2ny-2pm=0,

又由根与系数的关系得

y1+y2=2n,y1y2=-2pm.

因此

(2pt-y1)(2pt-y2)=4p2t2-2pt(y1+y2)+y1y2=4p2t2-4ptn-2pm,

将其代入式(8)化简得

(9)

由式(3)和式(9)得

将结论中的“过定直线l:x=-m(m>0)上任意一点”，换成“过抛物线外的任意一点P(s,q)”，结论是否成立？

图2

结论3的证明,可仿结论2的证法，有兴趣的读者可自行证明.笔者经过演算，上述结论是抛物线特有的性质，对于椭圆、双曲线不成立.

上述结论体现了抛物线切点三角形的面积和……