●

(宁波市职业技术教育中心学校 浙江宁波 315040)

巧用直线参数方程解圆锥曲线中的常见问题

●陈健

(宁波市职业技术教育中心学校 浙江宁波 315040)

已知过点P0(x0,y0)，倾斜角为θ的直线l的参数方程为

1 巧选t轴原点，解决定性问题

在用直线参数方程解题时，很多人想当然地认为P0(x0,y0)是“定点”，这样在使用时会受到限制.其实“动”与“静”是相对的.在实际解题过程中，可以根据是否能简化运算来灵活选择P0(x0,y0)作为t轴的原点，这时点P0相对于l的任意点就是“定点”.

图1

例1如图1，点P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)内部的任意一点，过点P且倾斜角互补的2条直线与抛物线分别交于点A,B,C,D，求证:∠ACD=∠ABD．

证明设直线AB，CD的倾斜角分别为α，β，则直线AB的参数方程为

设此方程的2个根为t1,t2,则

由参数t的几何意义知

同理可得

因为直线AB，CD倾斜角互补，所以

sin2α=sin2β.

由式(1)，式(2)得

AP·BP=CP·DP，

点评虽然P(x0,y0)为任意点，但是点P为动弦AB与CD所在直线的交点，由于2条弦的位置是固定的，从而点P也是相对固定的，这样就可以选择点P为t轴的原点，设立直线参数方程，巧妙地证明此类定性问题.若结合函数、不等式、三角函数等知识点,此方法还可以适用于解决最值问题.

2 巧用t1+t2=0，解决中点问题

圆锥曲线中有许多涉及中点和对称性的问题，特别是存在性问题,条件比较开放，常常使学生很难入手.若用直线参数方程中参数的几何意义来解，则能顺利切入题目，解法也较为简单.

解设过点B(1，1)的直线参数方程为

t2(2cos2α-sin2α)+2t(2cosα-sinα)-1=0.

(3)

由已知BQ1=BQ2得t1+t2=0,即

解得

sinα=2cosα，

此时式(3)简化为

t2(2cos2α-sin2α)-1=0.

若存在这样的直线m,使得点Q1,Q2关于点B对称，则

而当s……