潘 杰， 周 玲

（合肥工业大学数学学院，合肥 230009）

一道大学生数学竞赛题的联想

潘 杰， 周 玲

（合肥工业大学数学学院，合肥 230009）

通过对一个正弦函数不等式的类比，给出了余弦函数、正切函数、双曲正弦函数、双曲余弦函数、反正弦函数、反双曲正弦函数的不等式.

类比联想；初等函数不等式；幂级数展开式

2006年湖南省大学生数学竞赛数学专业试题的A－2题为：

设x∈R，｜x｜＜1，证明不等式

解答如下.

当｜x｜≤1时，由sinx的幂级数展开式得

通过对不等式（1），（2）的类比，本文给出几个类似的不等式，有关结论下面以命题形式给出.

命题设x∈R，｜x｜＜1，则有

证明如下.

当｜x｜≤1时，由cosx的幂级数展开式得

注 也可用证明不等式（1）的方法来证明不等式（5）.

用证明不等式（2）的方法可证不等式（6），过程从略.

类似不等式（3）的证明可证不等式（7）；类似不等式（4）的证明可证不等式（8）.

故不等式（9）成立.

由不等式（9）知，当｜x｜≤1时，

此即不等式（10）.

再由［1］知，当｜x｜≤1时，

特别当x＝1时，有

所以当｜x｜≤1时，

故不等式（11）成立.

类似不等式（10）的证明可证不等式（12）.

仍由［1］知，当｜x｜≤1时，

特别当x＝1时，有

所当当｜x｜≤1时，

故不等式（13）成立.

类似不等式（10）的证明可证不等式（14）.

［1］菲赫金哥尔茨ГМ.微积分学教程（第二卷第二分册）［M］.北京大学高等数学教研室译.北京：人民教育出版社，1954：414，447，450.

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C

1672－1454（2012）04－0136－04

2009－05－20

高等学校大学数学教学研究与发展中心教改项目：高等数学课程传授数学思想培养数学能力的范例集锦