欧氏群与二次曲线方程的化简

2012-11-02尹彦彬王建永陈敏茹

大学数学 2012年4期

关键词：方向

尹彦彬，王建永，陈敏茹

（河南大学数学院，开封 475004）

欧氏群与二次曲线方程的化简

尹彦彬，王建永，陈敏茹

（河南大学数学院，开封 475004）

讨论欧氏群E（2）在二次曲线方程化简理论中的应用.在此背景下，给出二次方程化简的方法；讨论了二次曲线方程的若干性质.

欧氏群；反射；二次曲线

1 预备知识

在本文中我们约定coli（A）表示A的第i列向量；At表示A的转置；向量u的单位化记为u0.考虑二次曲线Γ的一般方程

为了方便起见，特引进一些记号

定义1.1［1］二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线，这条直线称为二次曲线的共轭于平行弦方向的直径.

定义1.2［1］设l为二次曲线的一条直径，如果它垂直于自己的共轭弦，则l称为主直径，主直径的方向和垂直于主直径的方向称为主方向.

命题1.2二次曲线的主直径的共轭方向是A2的非零特征根对应的特征向量的方向.

证设X∶Y为主直径弦的方向，主直径方向为X′∶Y′，则有X′∶Y′＝－Y∶X.由命题1.1，X′∶Y′＝－（a12X＋a22Y）∶（a11X＋a12Y）＝－Y∶X，得

从而X∶Y为A2的属于非零特征根λ的特征向量.

（i）有心二次曲线（detA2≠0）：此时二次曲线有唯一中心（x0，y0）.A2有两个非零特征根，所以二次曲线有两个主方向.设X∶Y为一主方向，则其共轭方向为－Y∶X，也是主方向.那么以X∶Y为主方向的主直径为YF1（x，y）－XF2（x，y）＝0，另一主直径方程为XF1（x，y）＋YF2（x，y）＝0.当然它们经过二次曲线中心（x0，y0），所以以X∶Y为主方向的主直径可以表示为