陈德建

（黎明职业大学，福建 泉州 362000）

偶完全数有无穷多

陈德建

（黎明职业大学，福建 泉州 362000）

本文从完全数的定义出发，运用已证得的定理，并利用梅森合数的性质，求出两梅森数下标素数的关系；用反证法，假设存在最大梅森素数，从而引出矛盾，证明命题。

完全数；偶完全数；梅森数；梅森合数；梅森素数；最大梅森素数；反证法

一、引论

定义1：设n是一个正整数，如果n的全部因数的和等于2n，n就叫做一个完全数（perfect number）。

例如，6的因数的和σ（6）=1+2+3+6=12，28的因数的和σ（28）=1+2+4+7+14+28=56，故6和28都是完全 数①。

定义2：形状是 Mn=2n-1的数叫梅森（M·Mersenn）数。

定理1：如果n＞1，且an-1是素数，那么a=2,且n是素数。

证：如果a＞2，又因n＞1，所以1＜a-1＜an-1，且an-1=(a-1)(an-1+an-2+…+a+1)，所以an-1有真因数（a—1），即它不是素数了，因此a=2。如果n是复合数，即n=kl，其中1＜k＜n，那么1＜2k-1＜2n-1，且（2k-1）丨（2n-1），从而2n-1也将不是素数了。所以如果an-1是素数，则必须a=2及n是素数。

定理证完。

定义3：如果p是素数，且 Mp=2p-1也是素数，则Mp称梅森素数。

例 如 22-1=3,23-1=7,25-1=31均 为 素 数 ， 故M2,M3,M5均为梅森素数。

但并不是所有Mp均为梅森素数，例如等等②。

显然，n是合数时，an-1是合数，而Mp中也有合数，本文所称梅森合数是指Mp中的合数。已知的前33个梅森素数依次是

这第33个梅森素数 2859433- 1有258716位。

Mersenne prime（梅森素数）的个数无疑是无限的，但其证明却毫无希望地超出了我们的能力。③

定理 2：如果Mp是素数，那么(2p- 1)是一个偶完全数，而且除了这些以外，在没有其他的偶完全数。

证：我们用σ(n)表示n的全部因素之和，如果Mp是素数，那么的因数显然为1，2，所以

现在假定a是一个偶完全数，假设a的标准分解式中含2的最高方幂的次数为n-1，因a是偶数，所以n-1≥1，又因 2n-1显然不是偶完全数，所以a= 2n-1u，u＞1，2u。……