孙佳美，郭利涛

1 原始的Coale-Kisker模型

原始的Coale-Kisker模型（简称为原始C-K模型）是Ansley Coale和Ellen Kisker在1990年提出的。该模型有两个基本假设：

（1）85岁以上人口死亡率的增加幅度是随着年龄增长而线性下降的；

（2）110岁人口的死亡率是不随时间变化而变化的，是一个固定值。

C-K模型首先定义了一个kx：

其中，mx是年龄x岁的人口的粗死亡率，可通过死亡数与年中人口数的比值得到。

若65岁及以上人口的粗死亡率已知，则由(1)式可以得到下面的(2)式：

根据C-K模型的第一个假设，kx（x≥85）与年龄x呈线性关系，即

其中s代表kx变化的斜率。将(3)式代入(2)式可以得到：

令x=110，则由(4)式可以得到斜率s,结果如下：

原始C-K模型的第二个基本假设是110岁人口的粗死亡率是个固定值，并且男性m110=1.0,女性m110=0.8。同时为了降低随机波动对死亡率估计造成的影响，Coale和Kisker用82岁到86岁人口死亡率的算术平均值代替(5)式中84岁人口的死亡率；用82岁到88岁人口的kx的算术平均值代替k85，即

根据(1)式，(7)式可以化简为：

综上所述，原始的C-K模型只需得到81-88岁人口粗死亡率的数据，利用式(6)和式(8)及m110的数据，由式(5)计算出s后，再利用(4)式便可以得到其余高高龄人口的死亡率。

2 改进的Coale-Kisker模型

原始的C-K模型是基于当时高高龄人口的死亡统计样本比较少而提出的，随着高高龄人口死亡统计数据的增加，其中对于m110取固定值的假设就显得有些不适合了。为此需要将原始的C-K模型加以改进。考查公式(4)，将其改写如下：

将(9)式调整可以得到：

从(10)式可以看出，85岁以上人口的死亡率应满足如下形式：

式（11）称为改进的C-K模型，参数A、B、C的值可通过最小二乘法估计得到。相对原始的C-K模型而言，改进的C-K模型不需要m110取固定值的假设，而且将用到85岁以上所有年龄人口的死亡数据。因此如果85岁以上人口的死亡率数据充足而且可靠的话，则使用改进的C-K模型得到的高龄人口死亡率估计较使用原始的C-K模型得到的结果更准确些。

3 模型实证分析

3.1 数据来源

根据《中国统计年鉴》和《中国人口统计年鉴》的统计，中国人口死亡数据中大部分日历年数据的末组都为90+，1996年末组为85+，1995、2000和2005年末组为100+，85岁以上人口的死亡统计较少，而原始C-K模型及其改进模型均需要85岁以上人口的死亡率数据，并且要求数据质量比较可靠。因此我们无法对中国高高龄人口数据采用C-K模型进行拟合，但是随着中国高龄及高高龄人口统计数据的增多，有必要基于高高龄人口的实际死亡数据进行死亡率的估计和预测。为了给出原始C-K模型及其改进模型的具体运用方法，本文将以数据日本的人口死亡数据（数据来源：The Human Mortality Database，以下称HMD）为例，对原始C-K模型和改进的C-K模型的拟合效果进行检验，希望对中国高高龄人口死亡数据的拟合提供借鉴。

本文中的日本人口死亡数据来源于HMD中1970～2009年男性和女性按每5年分组的分年龄暴露数、死亡数及死亡率（Period Data）数据。

3.2 原始C-K模型和改进的C-K模型下死亡率的拟合结果

下面将对日本85岁以上人口粗死亡率采用原始C-K模型、改进的C-K模型进行拟合，其中原始C-K模型的拟合死亡率由前面的式（4）、（5）、（6）、（8）和m110的假定（男性m110=1，女性m110=0.8）计算而得，利用改进的C-K模型拟合死亡率是通过使得回归平方和极小化先计算出参数A，B，C，再利用式（11）即可得到各年龄死亡率的拟合值。

图1给出日本2000～2009年男性、女性年龄别死亡变化率5kx的值，从图1看出，男性、女性85岁以上的死亡变化率5kx均呈下降趋势，因此可以说明用C-K模型拟合其85岁以上的死亡率是适合的。图2、3分别给出对日本2005～2009年男性和女性85岁以上人口的粗死亡率（到105岁）采用原始的C-K模型及改进后的C-K模型的拟合效果比较，图4和图5是对日本1970-2009年男性和女性85岁以上人口（到105岁）的粗死亡率采用改进后的C-K模型得到的m110的预测值。

由图2和图3可以看出，对于1970～2009年日本男性和女性85岁以上人口的粗死亡率，改进C-K模型的拟合效果均比原始C-K模型的拟合效果好。从图4、5可以看出，采用改进后的C-K模型得到的m110的预测值在各年均小于原始的C-K模型中m110的假设值。另外，从图5还可以看出，基于日本的历史数据预测出来的女性110岁死亡率是随着时间的变化而变动的，没有固定在0.8；女性110岁的死亡率大致处于下降趋势，而且长时间低于0.8。

图1 日本2000～2009年男性、女性年龄别死亡变化率5kx的值

图2 日本2005～2009年男性85岁以上人口死亡率的拟合效果比较

图3 日本2005～2009年女性85岁以上人口死亡率的拟合效果比较

图4 日本1970～2009年男性m110的预测效果比较

4 结论

图5 日本1970～2009年女性m110的预测效果比较

本文基于日本1970～2009年85岁以上人口的死亡率，分别采用原始C-K模型及其改进模型估算出高高龄人口的死亡率，结果表明当85岁以上人口的死亡率数据已知，而且数据质量较可靠时，改进的C-K模型的拟合效果可能优于原始的C-K模型的拟合效果。我国已经进入人口老龄化社会，老龄人口死亡率的降低和平均寿命的延长，将会低估年金产品的费率，造成商业保险公司或养老金公司的财务问题。因此，本文的研究将对中国保险公司、养老金公司及监管部门提供方法指导。

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