徐远志 汪饶饶 安兵兵 周银晓 于海洋 张东升

（1.同济大学附属第十人民医院 口腔科；2.上海市应用数学和力学研究所，上海 200072；3.口腔疾病研究国家重点实验室，四川大学，成都 610041；4.上海大学 力学系，上海 200444）

牙本质是一种高度矿化的组织，在牙齿中所占的体积分数最大。牙本质最显著的特征是其内部存在着牙本质小管，这些小管的直径为1～2 μm，从牙髓腔一直延伸到牙齿外表面[1]。近年来，牙齿漂白已经成为治疗牙齿着色、改善牙色美观的常用方法。最常用的漂白剂为过氧化物，包括过氧化氢（hydrogen peroxide，HP）和过氧化脲（carbamide peroxide，CP）等。上述过氧化物最终分解的产物含有水和氧气，可以形成超氧化物自由基，将大的色素分子降解成小分子，达到脱色或使着色变浅的目的。然而临床研究[2-3]发现，发生牙齿疾病时很多情况下都会伴随出现牙齿内部的裂纹，特别是经过变色牙漂白后，牙本质的断裂性能可能会发生改变。由于牙本质的断裂力学性质直接关系到牙齿的生理功能，因此研究漂白处理后牙本质的断裂力学性能是非常重要的。

目前主要采用传统的强度测试法来研究牙齿的力学性质，有限元分析法主要用于分析牙齿的应力状况[4-5]。然而利用这两种方法分析牙齿的最大应力并不能准确表示其断裂力学性质。断裂韧度是材料的固有属性，可以说明牙本质抵抗裂纹扩展的能力，并不会随所取试样的几何形状或是加载方式的不同而变化。断裂韧度越大表示材料抵抗断裂的能力越强，材料越不容易断裂。研究发现：牙本质的断裂韧度并不是一个单值，而是随着裂纹的扩展而增大，表现出一种上升的阻力曲线特性[6-7]。Woo等[8]的研究表明：随着漂白时间的增长，牙本质的断裂韧度逐渐降低。还有实验[3]发现：经过内漂白处理的牙本质抗折裂性能明显降低，而经过外漂白和未经漂白的牙本质之间的断裂韧度并没有明显的差别。但是，这些研究所获得的断裂韧度仅是定性的描述，牙本质在经过漂白处理后是否会表现出上升的阻力曲线性质，这种阻力曲线与未经漂白时有何差别，以及经过内漂白和外漂白两种不同方式处理后牙本质之间的阻力曲线是否相同，这些问题至今存疑。本文根据非线性断裂力学的相关原理，利用内聚力模型，通过有限元数值模拟分析的方法，研究漂白后牙本质的纵向裂纹扩展行为，即裂纹沿着牙本质小管扩展，得出牙本质在未经漂白和经过内、外漂白处理后的裂纹扩展阻力曲线，进一步揭示不同漂白方式对牙本质抗折裂力学性能的影响。

1 材料和方法

1.1 内聚力模型的构建

生物硬组织材料在外力的作用下产生裂纹时，材料会产生一种促使裂纹闭合的趋势[1，6]。在裂纹前端会产生钝化现象，降低裂纹尖端的应力强度；在裂纹尖端的后方，一些未完全断裂的组织形成裂纹桥，形成反抗裂纹张开的阻力。这些物理现象可以用内聚力模型进行模拟[7]。假设在裂纹的尖端存在着一个使裂纹产生闭合趋势的内聚力区，裂纹尖端区域的本构关系可以通过内聚力和裂纹张开位移之间的关系来表示。

内聚力模型的本构关系曲线形状对于断裂行为的影响并不大[9]，因此本研究采用双线性关系描述内聚力和裂纹张开位移的关系，如图1所示。图1中，σu是内聚力模型的极限拉伸强度，δc是内聚力达到极限拉伸强度σu时裂纹的张开位移，δu是试样发生断裂时的裂纹张开位移，内聚力和裂纹张开位移曲线所围的面积就是断裂能Gc，它表示裂纹张开单位面积所需要的能量。

图 1 内聚力和裂纹张开位移的关系Fig 1 The relationship between cohesive force and crack opening displacement

1.2 牙本质试样的几何尺寸与加载方式

以往的研究[10]中，主要采用紧凑拉伸试样通过稳态裂纹扩展的方式测定牙本质断裂韧度。本文采用与参考文献[10]所报道的试样相同的几何尺寸（图2）建立数值模型，取试样厚度B为1 mm。已有实验[6，10]发现：牙本质裂纹基本上是沿着平直方向发生扩展的，在数值模拟中，它是沿着紧凑拉伸试样的开槽平面S1进行扩展的（图3）。在裂纹扩展路径S1上划分具有双线性内聚本构关系的内聚单元。外漂白采用30%过氧化氢液作为漂白剂，每周漂白1 h，连续8周进行漂白处理；内漂白采用30%过氧化氢液作为漂白剂作用于髓腔内1周[3]。以未经漂白处理的牙本质（即完好牙本质）作为对照。参照参考文献[3]和[11～13]，本研究选择的经3种不同的漂白处理之后的牙本质内聚力本构模型的参数见表1。模型的其他部分采用平面应变的四边形单元，其中牙本质的弹性模量为19 GPa，泊松比为0.3[10]。

图 2 牙本质试样的几何尺寸Fig 2 The dentin specimen geometry

图 3 牙本质试样的加载方式Fig 3 Loading mode of dentin specimen

表 1 牙本质在各种漂白处理前后的内聚力本构模型的参数Tab 1 The cohesive zone model parameters of dentin before and after bleaching treatments

1.3 有限元分析

利用Abaqus 6.9进行有限元分析。为了提高计算效率，采用区域分割技术，在远离裂纹区域划分较粗的网格，而在裂纹区域划分较细的网格。本文划分的内聚单元长度均为0.01 mm，能够准确预测裂纹扩展的临界载荷。最终划分网格后的模型共有195个内聚单元，8302个四边形实体单元，如图4所示。

图 4 牙本质紧凑拉伸试样的有限元模型Fig 4 The finite element model of dentin compact tension specimen

模型分为3种：即未经漂白处理的牙本质试样，和经过内、外漂白处理的牙本质试样。本文模拟的初始裂纹长度为1.05 mm，采用张开型加载方式，在S2和S3两个内嵌的半圆形分析刚体上面施加外载荷P（图3），利用内聚力模型得到3种牙本质裂纹扩展时的加载点载荷与位移曲线，然后利用柔度法[14]计算出牙本质试样的裂纹扩展长度a和相应的断裂韧度K，最终得到3种牙本质试样的裂纹扩展阻力曲线。

2 结果

裂纹稳态扩展的数值模拟过程结束后，可以得到未漂白、经过内漂白和外漂白3种不同处理的牙本质在不同时刻裂纹扩展的载荷P和加载点位移v（图5）。

图 5 牙本质漂白前后裂纹扩展的载荷与加载点位移曲线Fig 5 The load and load-point displacement curve of dentin before and after bleaching treatments

经过内漂白和外漂白处理的牙本质，其断裂韧度随着裂纹的扩展而逐渐增大，表现出上升的阻力曲线特性；当裂纹扩展到一定阶段，断裂韧度随之达到稳定的最大值（图6）。这种变化趋势与未漂白牙本质的阻力曲线性质相似。

图 6 牙本质漂白前后的裂纹扩展阻力曲线Fig 6 The crack growth resistance curve of dentin before and after bleaching treatments

在图5所示曲线中，存在着由线性变化转化为非线性变化的点，在这个载荷下，裂纹从试样缺口处开始扩展；这个点在裂纹扩展阻力曲线上对应的断裂韧度Ko称为初始断裂韧度[6]。当断裂韧度趋于恒定时，裂纹扩展阻力达到最大值（图6），此时的断裂韧度Kp称为稳定断裂韧度[3]。在Ko和Kp之间，随裂纹长度增加而上升的扩展阻力可以用此段阻力曲线的斜率值Kg来表示，称为扩展断裂韧度[6]。对经漂白处理前后牙本质的初始、扩展和稳定断裂韧度做出估算，其结果见表2。其中，经内漂白处理的牙本质初始断裂韧度Ko和稳定断裂韧度Kp分别下降约14%和50%；内漂白和外漂白牙本质的Ko无明显差异，但均小于未漂白牙本质；漂白后牙本质的Kp显著小于未漂白牙本质，而内漂白后牙本质的Kp小于外漂白后牙本质。

表 2 经过3种不同处理后牙本质裂纹扩展阻力的比较Tab 2 A comparison of the crack growth resistance for the dentin before and after bleaching treatments

3 讨论

牙齿隐裂可以出现在牙齿表面，也可出现在牙齿内部。除了牙齿结构的薄弱环节和过高的牙尖是牙隐裂发生的重要因素之外，不正确的牙齿使用方法也可能造成牙齿隐裂。牙齿表面的裂纹容易观察，但由牙本质裂纹引发的牙齿隐裂，早期往往没有出现裂纹釉质，很难诊断为隐裂牙。隐裂牙会造成牙本质敏感，严重者还能导致冠折和根折，甚至需拔除。临床要避免此类现象的发生，研究影响牙本质抗折裂能力的因素尤其值得关注。有关牙本质的常规力学特性和断裂力学行为与临床医学的关系已受到越来越多的重视[3，10]。从解剖结构上看，牙本质小管的排列方向有一定的规律性，孔径大小从近髓腔到近釉牙本质界处呈逐渐减小的趋势，增龄效应也会改变牙本质小管的孔径。牙本质的宏观力学行为也呈各向异性的特征[15]，同时，近髓腔和近釉牙本质界的断裂力学行为也有差异[16-17]。本研究仅探讨了牙本质在漂白处理中的力学特征，这种分析对于了解漂白处理对牙本质抗折裂力学行为是有积极意义的。

研究牙本质的裂纹扩展性质需要采用合适的方法。本研究采用断裂力学中的内聚力模型研究牙本质的断裂力学性质，这是与其他研究不同的地方。相比于之前广泛采用有限元法分析牙齿的应力分布的研究而言[4-5]，本研究的优势在于准确预测出牙本质的断裂韧度和裂纹扩展阻力曲线性质，从而实现了定量描述牙本质抵抗裂纹扩展和断裂的能力，为正确评估漂白处理对牙本质断裂力学性质的影响提供了依据。

本文通过有限元数值模拟计算，得出未漂白牙本质断裂韧度趋于恒定时的值为3.25 MPa·，而Tam等[3]研究表明：完好（未经漂白）牙本质的断裂韧度为3.2～3.5 MPa·，可见本研究数值模拟的结果与实验结果吻合。Koester等[1]研究了不同年龄段人牙本质的断裂韧度，结果发现其扩展断裂韧度处于3.7～8.9 MPa··mm-1的范围内，本文所得出的未漂白牙本质的扩展断裂韧度Kg为3.90MPa··mm-1，与其相吻合。

观察图6和表2可知，不管是经过哪种处理后的牙本质试样，其初始断裂韧度都处于1 MPa·偏上的水平，且相互之间相差不大。随着裂纹的扩展，分别经过3种不同处理后的牙本质表现出不同的裂纹扩展阻力，这可能与它们各自不同的增韧机制有关[3]。其中，未经漂白的牙本质试样表现出最大的扩展断裂韧度，经过外漂白的牙本质试样次之，而经过内漂白的牙本质试样则具有最小的扩展断裂韧度。牙本质的增韧机制一般体现在裂纹偏斜、裂纹桥连和裂纹分叉三方面[1]，而漂白处理对牙本质内含水量、有机质和无机质成分产生影响，从而影响其增韧机制[3]。另外，本研究采用30%过氧化氢溶液作为漂白剂，在进行外漂白处理时，漂白溶液在经过牙齿表层釉质的渗透之后进入牙本质的剂量有所减少[8]，因此，经外漂白处理牙本质的扩展断裂韧度Kg和稳定断裂韧度Kp明显大于经内漂白处理的牙本质。

综上所述，漂白处理确实会影响牙本质的断裂性能，尤其是内漂白，对牙齿的影响更大。在内漂白的影响因素中，死髓牙和高浓度的漂白剂哪个是主导因素目前还不能准确判定。去除牙髓后，牙齿钙离子供应不足，可能会引起羟磷灰石晶体脱矿，牙本质小管形态和分布发生改变，机械强度降低，临床上容易折裂。目前使用的漂白剂对牙体硬组织在微观结构上可能有一些负性作用。相对分子质量较小的过氧化氢可以穿过釉质表面进入釉质深层和牙本质层，而釉质深层和牙本质层存在的有机物相对较多，更容易与过氧化氢结合发生氧化反应。Woo等[8]通过扫描电子显微镜研究发现，管间牙本质和管周牙本质能被高浓度的过氧化氢溶解，这种改变可能导致断裂韧度的降低。对于外漂白处理是否会增加牙齿的隐裂风险还需要较长时间的临床观察。

本文通过有限元数值模拟，分析了未漂白、内漂白和外漂白牙本质的裂纹扩展阻力，发现它们具有各不相同的断裂性能：1）漂白处理降低了牙本质的初始断裂韧度、扩展断裂韧度和趋于恒定时的断裂韧度，经内漂白处理后，牙本质的断裂韧度降低明显，而外漂白处理引起的变化较小；2）漂白处理对牙本质初始断裂韧度的影响很小，它减弱了裂纹扩展的升阻能力，使得断裂韧度趋于恒定时的值减小，对内漂白后牙本质的影响尤为显著；3）在裂纹的稳定扩展过程中，漂白处理可能会影响牙本质的增韧机制，对内漂白牙本质的影响尤其明显。

[1] Koester KJ,Ager JW 3rd,Ritchie RO.The effect of aging on crack-growth resistance and toughening mechanisms in human dentin[J].Biomaterials,2008,29（10）：1318-1328.

[2] Lynch CD,McConnell RJ.The cracked tooth syndrome[J].J Can Dent Assoc,2002,68（8）：470-475.

[3] Tam LE,Kuo VY,Noroozi A.Effect of prolonged direct and indirect peroxide bleaching on fracture toughness of human dentin[J].J Esthet Restor Dent,2007,19（2）：100-109.

[4] 张君,王旭霞,马士良,等.埋伏牙牙周应力分布的三维有限元分析[J]. 华西口腔医学杂志,2008,26（1）：19-22.Zhang Jun,Wang Xuxia,Ma Shiliang,et al.Three-dimensional finite element analysis of periodontal stress distribution when impacted teeth are tracted[J].West China J Stomatol,2008,26（1）：19-22.

[5] 田力丽,梁伟,李凌旻,等.下颌第一磨牙牙体缺损修复后静力与冲击动力的三维有限元分析[J].华西口腔医学杂志,2007,25（6）：595-598.Tian Lili,Liang Wei,Li Lingmin,et al.Three-dimensional finite element initial analysis on the structure defect restoration of mandibular first molar under static and impact loads[J].West China J Stomatol,2007,25（6）：595-598.

[6] Nazari A,Bajaj D,Zhang D,et al.Aging and the reduction in fracture toughness of human dentin[J].J Mech Behav Biomed Mater,2009,2（5）：550-559.

[7] Iwamoto N,Ruse ND.Fracture toughness of human dentin[J].J Biomed Mater Res A,2003,66（3）：507-512.

[8] Woo JM,Ho S,Tam LE.The effect of bleaching time on dentin fracture toughnessin vitro[J].J Esthet Restor Dent,2010,22（3）：179-184.

[9] Tvergaard V,Hutchinson JW.The relation between crack growth resistance and fracture process parameters in elastic-plastic solids[J].J Mech Phys Solids,1992,40（6）：1377-1397.

[10] Zhang D,Nazari A,Soappman M,et al.Methodsfor examining the fatigue and fracture behavior of hard tissues[J].Exp Mech,2007,47（3）：325-336.

[11] Giannini M,Soares CJ,de Carvalho RM.Ultimate tensile strength of tooth structures[J].Dent Mater,2004,20（4）：322-329.

[12] Inoue S,Pereira PN,Kawamoto C,et al.Effect of depth and tubule direction on ultimate tensile strength of human coronal dentin[J].Dent Mater J,2003,22（1）：39-47.

[13] Chng HK,Palamara JE,Messer HH.Effect of hydrogen peroxide and sodium perborate on biomechanical properties of human dentin[J].J Endod,2002,28（2）：62-67.

[14] American Society for Testing and Materials.E399—05.Standard test method for linear-elastic plane-strain fracture toughnessKⅠcof metallic materials[S].West Conshohocken：American Society for Testing and Materials,2005.

[15] Inoue T,Takahashi H,Nishimura F.Anisotropy of tensile strengths of bovine dentin regarding dentinal tubule orientation and location[J].Dent Mater J,2002,21（1）：32-43.

[16] Ivancik J,Neerchal NK,Romberg E,et al.The reduction in fatigue crack growth resistance of dentin with depth[J].J Dent Res,2011,90（8）：1031-1036.

[17] An B,Song Y,Zhang D.Monte Carlo simulation of fracture behavior of human dentin using VMIB model[J].Acta Mechanica Solida Sinica,2010,23（1）：24-29.