☉江苏省赣榆高级中学 关余友

数学思想方法是数学的灵魂，是数学知识的高度概括，它贯穿于整个数学教学活动的始终.最常用的数学思想有方程思想、不等式思想、函数思想、类比思想、数形结合思想、分类讨论思想等.数形结合思想是中学数学教学中的重要思想方法之一，它在高考中占有非常重要的地位，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.很多数学问题用此方法来解，可以达到化难为易的目的.高中数学教学中应重视这种思想方法的渗透，从而帮助学生提高分析问题和解决问题的能力.

数形结合思想应用广泛，高考试题对数形结合的考查主要涉及：（1）考查集合及其运算问题；（2）考查用函数图像解决有关问题（如方程、不等式、函数的有关性质等）；（3）考查用向量解决有关问题；（4）考查三角函数的图像及其应用；（5）解析几何、立体几何中的数形结合.

一、数形结合在集合中的应用

在解集合问题中要注意图形与符号、图形与文字之间的转译，充分发挥图像在解题中的作用.

例1 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M，N满足M∩N={1，3}，（CUM）∩N={2}，CU（M∪N）={5}，则集合M=________

分析：集合M，N比较抽象，欲具体考察其关系有困难，若能借助集合的图示（文氏图），就能化抽象为具体，故可作出文氏图（图1）加以解决，集合M={1，3，4}.

二、数形结合在函数中的应用

方程或不等式的问题常可转化为研究两个函数图像交点或位置关系的问题.

分析：图像法解不等式具有运算量小，思维量小，简洁明了等优点，实质是转化与化归思想的应用.

从图像中可以观察出：原不等式的解为：当a≥1时，x≥0；当0＜a＜1时，0≤x≤x0（其中x0为y=与y=ax+1的图像的交点的横坐标）.

三、数形结合在解析几何中的应用

用解析几何中的重要公式（如斜率、两点间距离公式、定比分点公式等）与定义来谋求数式背景及相关性质.

例3 已知圆C：（x+2）2+y2=1，P（x，y）为圆C上任一点.

（2）求x-2y的最大、最小值.

分析：认真分析和研究代数式的结构特征，运用类比联想，将已知条件转化为直观形象的图形，或挖掘出代数式的几何意义并使之形象化、具体化是数形结合运用能力的体现.本例中，将最值问题转化为直线斜率的最值问题和直线在y轴上的截距的最值问题，并作出相应图像，使问题一目了然，迅速获解.

四、数形结合在数列中的应用

解：由任意的n∈N*，都有an≥a8成立，得a8为数列{an}中的最小项.

分析：以上解法错误的原因就是对两个函数的图形画得不准确，当然一般情况下我们也不可能画出准确的图形，那怎么办？就必须借助已知条件所提供的信息.