☉江苏省沭阳高级中学 周海勇

函数是中学数学最基本的内容，函数的数学思想贯穿整个高中数学学习的始终，定义域是函数“三要素”（定义域、值域、对应法则）之一，是函数最本质的特征.在解决问题的过程中，如果忽视函数的定义域，常常会事倍功半，甚至误入歧途，在求函数解析式时，必须考虑函数的定义域，否则所求函数关系式是不完整的.下面就对求函数定义域的方法进行分类说明，希望对大家在教学中引导学生解决与定义域有关的问题时有所帮助.

题型一：由解析式确定函数的定义域

当函数是由解析式给出时，则其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.也就是：（1）若f（x）为整式函数，则定义域为全体实数；（2）若f（x）为分式函数，则分母不能为0；（3）若f（x）为偶次方根，则被开方数不小于0；（4）若f（x）=x0，则定义域为｛x|x∈R，且x≠0｝；（5）在解决实际问题时，自变量的取值要有实际意义等.

分析：根据函数式子的特点，要求偶次根式下被开方数是非负数，分式的分母不为0；x0要有意义，即其中的自变量x不能为0.

点评：求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合，一般可通过解不等式或不等式组完成.当一个函数是由两个或者两个以上的式子的形式构成时，那么它的定义域是使每个式子有意义的集合的交集.

题型二：复合函数的定义域

如果函数y=f（t）的定义域为A，函数t=g（x）的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称y=f［g（x）］为f与g在D上的复合函数，其中t叫中间变量，t=g（x）叫内函数，y=f（x）叫外函数.复合函数的定义域由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定.

1.已知函数f（x）的定义域，求函数y=f［g（x）］的定义域

分析：求满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围即可.

例2设函数f（x）的定义域为［0，1］，则函数f（2x）的定义域是________.

解：依题意，有：

2.已知函数f［g（x）］的定义域，求函数f（x）的定义域

分析：由已知a≤x≤b，求g（x）的值域，即为f（x）的定义域.

变式1：已知函数g（x）=f（3-2x）的定义域为［-1，2］，则函数f（x）的定义域为_____.

解：g（x）的定义域为［-1，2］.

即-1≤x≤2.

所以-1≤3-2x≤5.

即f（x）的定义域为［-1，5］.

3.已知函数f［g（x）］的定义域，求函数f［h（x）］的定义域

分析：先由y=f［g（x）］的定义域求出f（x）的定义域，再由f（x）的定义域求f［h（x）］的定义域.

变式2：已知函数f（x+1）的定义域为［-2，3］，求f（2x-2）的定义域.

解：f（x+1）的定义域为-2≤x≤3.

令t=x+1，则-1≤t≤4.

故f（t）的定义域为-1≤x≤4.

点评：（1）对于复合函数f［g（x）］而说，如果函数f（x）的定义域为A，则f［g（x）］的定义域是使得函数g（x）∈A的x的取值范围.（2）如果f［g（x）］的定义域为A，则函数f（x）的定义域是函数g（x）的值域.

题型三：由实际问题确定函数的定义域

在解决函数实际应用题时，要考虑结合实际问题，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要注意问题的实际意义对自变量的限制（如长度、面积必须大于0，人必须为自然数等）.

例3 甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元.把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域.

分析：先建立函数关系，根据函数的关系式以及速度v的实际意义确定函数的定义域.

故函数的解析式有意义得到v≠0，由自变量v的实际意义得到v＞0，由题目的限制条件“速度v不得超过ckm/h”得到v≤c.

所以函数的解析式及其定义域为

点评：在解决关于函数的实际应用问题时，一定要注意研究并写明函数的定义域，否则扣分是比较多的.这是因为作为解答题的这类题型，往往还要考查函数的其他性质.如果函数的定义域出错了，那么在此基础上研究出来的函数的其他性质也就不一定正确了.这一点我们要加倍注意，并形成重视函数定义域的良好意识与习惯.

总之，函数的定义域是求解函数的一切问题的基础，解决函数的一切问题必须认真考查函数的定义域，学会并掌握求函数的定义域的常用方法是学习好函数的基础.