☉云南省昆明市第十中学 刘喜全

在实际生活中的优化问题一般为利润最大、用料最省、效率最高等问题.这类优化问题可归结为求函数的最值问题，导数正是求最值的有力工具，利用导数处理优化问题的基本思路是将题目中的实际问题转化为数学问题进行求解.笔者通过对几道试题的评析谈谈如何灵活运用导数处理实际问题中的优化问题，以飨读者.

例1 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧A（B上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x，则BC2=400-x2，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k；当垃圾处理厂建在A（B的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）将y表示成x的函数.

（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧A（B上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由.

当x=

令y′=0，得18x4=8（400-x2）2，所以x2=160，即x=4时，18x4＜8（400-x2）2，即y′＜0，所以函数为单调减函数，当＜x＜20时，18x4＞8（400-x2）2，即y′＞0，所以函数为单调增函数.所以当x=4时，即当C点到城A的距离为时，函数y=（0＜x＜20）有最小值0.065.

点评与反思：本题是2009年山东高考试题，主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及换元法、基本不等式法和转……