☉江苏高邮市龙虬初中 夏正华

一、利用一次函数的图像解实际应用型热点试题

例1 某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程xkm计算，如图1所示.甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为y2元，若y1、y2与x之间的函数关系如图1.其中x=0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是（ ）.

A.当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同

B.当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公车比较合算

C.除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多

D.甲租赁公司平均每公里收到的费用比乙租赁公司少

分析：由题意联系已知函数图像可知，y1、y2均为x的一次函数.①函数图像相交于点（2000，2000），说明当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同；②当月用车路程为2300km时（即x=2300时），函数y1的图像在函数y2图像的上方（即y1＞y2），故当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公车比较合算；③本题中每公里收取的费用直接影响着函数y随x增大而增大的速度.在图像上的直接体现则是图像上升的速度.观察图像可知，函数y1的图像上升趋势明显，速度比函数y2的图像要快.所以除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多.

福建省水利改革发展中的若干问题探讨与建议…………………………………………… 游祖勇，高 平(22.57)

解答：选择D.

点评：一次函数图像的识图以及从图像中获取相关信息是学习函数必备的一种基本能力.中考对于此类问题的考查也是从未间断，常考常新.只有综合掌握函数的相关知识，并能融会贯通，才能较容易地解决问题.本题属于一次函数实际应用问题，综合性较强.

二、构建一次函数解决实际问题是中考的热点

例2 甲车从A地出发以60km/h的速度沿公路匀速行驶，0.5h后，乙车也从A地出发，以80km/h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发几小时追上甲车.请建立一次函数关系解决上述问题.

分析：乙车出发几小时追上甲车是指两车行驶路程相等或在平面直角坐标系两条直线交点的意义，因此设乙车出发xh后，甲、乙两车离A地的路程分别是y1km、y2km，得y1=60x+30，y2=80x.当乙车追上甲车时，y1=y2，即60x+30=80x.解得x=1.5（h）.

解答：设乙车出发xh后，甲、乙两车离A地的路程分别是y1km、y2km.

根据题意得y1=60（x+0.5）=60x+30，y2=80x.

当乙车追上甲车时，y1=y2，即60x+30=80x.

解这个方程得x=1.5（h）.

答：乙车出发1.5h追上甲车.

点评：近年来，南京市中考数学试卷加大了对一次函数知识的考查，除09年省统考除外，06、07、08年各命制一道解答题（其中08年命制一道压轴题），通过分析可以看出该知识点考查的内容主要是函数关系的建立、函数图像与函数的应用，难度在中等或中等稍难以上.解决此类问题的一般方法是根据问题建立函数关系式，进而运用图像或根据实际意义求解.

三、利用待定系数法求一次函数的表达式

例3 2010年我国西南地区遭受了百年一遇的旱灾，但在这次旱情中，某市因近年来“森林城市”的建设而受灾较轻.据统计，该市2009年全年植树5亿棵，涵养水源3亿立方米，若该市以后每年年均植树5亿棵，到2015年“森林城市”的建设将全面完成，那时，树木可以长期保持涵养水源11亿立方米.

（1）从2009年到2015年这七年时间里，该市一共植树多少亿棵？

（2）若把2009年作为第l年，设树木涵养水源的能力y（亿立方米）与第x年成一次函数，求出该函数的解析式，并求出到第3年（即2011年）可以涵养多少亿立方米水源？

分析：⑴本题需要学生注意从2009年到2015年需要经过7年，（2）第二问中需要运用待定系数法确定函数解析的方法，注意已经知道了两个点：第一年（1，3）；第7年（即2015年）（7，11），代入解析式；将3代入即可求出结论.

解答：（1）5×（2015-2009+1）=5×7=35 （亿棵），所以该市一共植树35亿棵

（2）解：设树木涵养水源的能力y（亿立方米）与第x年所成的一次函数为：y=kx+b.

所以，函数的解析式为：y=x+4，第3年（即2011年）可以涵养水源7亿立方米.

点评：本题是基础性题目，但是需要学生注意共经过几年，能够通过阅读抽象函数的两个点的坐标，然后代入求出函数的解析式，再将已知条件求出代数式的值.利用待定系数法确定函数解析式、代入求值.这是中考的热点，也是学生必备的知识.

四、关注社会热点型试题

例4（2010重庆綦江县）“震灾无情人有情”，玉树地震牵动了全国人民的心，武警某部队接到命令，运送一批救灾物资到灾区，货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的灾区B处.下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间关系：

行驶时间x（小时） 0 1 2 3 4余油量y（升） 150 120 90 60 30

（1）请你用学过的函数，建立y与x之间的函数关系式，说明选择这种函数的理由；（不要求写出自变量的取值范围）

（2）如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达灾区B处卸去货物后能顺利返回D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内余油量应随时不少于10升）

分析：①根据自变量和因变量变化情况来判断函数的类型，这是解本题的关键.把给出的五组数据在直角坐标系中描出来，图像的特征显而易见，所以可以把这个函数归类为一次函数关系；②用待定系数法来求解析式；③因为在D处加油的量必须使货车到达灾区B处卸去货物后能顺利返回D处再次加油，根据题意，可以列不等式求解.

解答：（1）如图2，把五组数据在直角坐标系中描出来，这五个点在一条直线上，所以y与x满足一次函数关系.

解得W≥94.

答：D处至少加94升油，才能使货车到达灾区B地卸物后能顺利返回D处加油.

点评：①本题从一个实例出发，建立具体的情境，在一定程度上考查了学生从实际问题中抽象出函数模型的抽象思维能力；②本题体现了待定系数法在求解析式问题中的重要作用；③本题结合了不等式的有关知识，并且在列不等式的过程中要求学生思维缜密，增加了解题难度，提高了试题的区分度.本题紧扣大纲，把握时代脉搏，立意新颖，是一道好题.本题综合性较高，难度中等偏上.