☉河南省漯河市外语中学 龚天芝

等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.

已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P是边BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、F、D.

求证：PE＋PF＝CD.

证法1（面积法）：

故等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.

证法2（截长法）：

在CD上截取DG=EP，连接PG，如图2.

因为CD⊥AB，PE⊥AB，

所以四边形DEPG是矩形，所以∠DGP=90°.

因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB.

因为GP//DE，所以∠GPC＝∠B.

所以∠ACB＝∠GPC，又因为PC＝CP，∠PGC＝∠CFP=90°.

所以△CGP≌△PFC，所以PF＝CG.

所以PE＋PF＝DG＋GC＝CD.

证法3（补短法）：

延长EP到G，使EG=DC，连接CG，如图3.

因为CD⊥AB，PE⊥AB，

所以四边形DEGC是矩形，所以∠G=90°.

因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB，

因为GC//DE，所以∠GCP＝∠B.

所以∠ACB＝∠GCP，又因为PC＝PC，∠G＝∠CFP=90°.

所以△CGP≌△CFP，所以PF＝PG.

所以PE＋PF＝EG＝CD.

（过点P作PG⊥CD，垂足为G，可得矩形DEPG，如图2，以下证法同方法2，可使问题得证；过C作直线EP的垂线，垂足为G，可得矩形DEGC，如图3，以下证法同方法3，可使问题得证.）

证法4（利用三角形相似）：

因为PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，如图1.

所以∠BEP＝∠BDC=∠CFP＝90°.

因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB.

所以△BEP∽△BDC∽△CFP.

拓展1.如果P在BC（或CB）的延长线上，如图4，有下列结论：|PE－PF|＝CD.（证明方法同上，过程略）

即：等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离差等于一腰上的高.

拓展2.如果把等腰三角形变为等边三角形，又有如下结论：

已知等边△ABC和点P，P到△ABC的三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h.

（1）当点P在△ABC的一边BC上时，如图5，此时h3＝0，则h1＋h2＋h3＝h.

即：等边三角形边上一点到三边的距离和等于等边三角形的高.

（2）当点P为△ABC内任意一点时，如图6，结论h1＋h2＋h3＝h仍成立.

即：等边三角形内任意一点到三边的距离和等于等边三角形的高.

由此可知，在等边三角形ΔABC中，设O为其中心，O到一边的距离为r3，显然h=3r3，就有结论h1+h2+h3=3r3

（3）当点P在△ABC外部时，如图7，可得h1＋h2-h3＝h.

（证明方法同上，过程略）

拓展3.如果把等边三角形变为正方形、正……