☉浙江宁波市北仑区梅山中学 王 浩

开放探究型问题具有较强的综合性与创造性，既能考查同学们对基础知识的掌握，又能反映同学们对知识内容的拓展、联想应用能力和开发创造能力，培养同学们的发散思维能力和空间想象能力，同时体现了同学们学习的自主性，成为考试中的热点内容.笔者对开放性问题的几种类型做了一个归纳，希望能给同学们的学习带来帮助.

一、条件开放探究类型

条件开放类问题一般给出部分条件和结论，添加适当条件可以推论出结论.要求同学们能全面理解题目的知识背景，探究结论成立的条件，往往满足的条件不唯一.

例1 如图1，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有__________（多选、错选不得分）.

点评：条件开放探究型问题一般难度不大，但有一定开放度，所以在探究结论成立的条件时，答案可能不唯一，思维的方向是多角度的.本题中是从直角三角形的定义、勾股定理的逆定理和相似三角形性质三个角度来进行设计问题，这样的问题可以培养同学们的发散思维能力和综合应用知识的能力.

二、结论开放探究类型

结论开放探究类型问题特点是题设中给出全部条件，要求同学们能分析条件并探究由所给条件猜想出可以得出哪些结论，并证明所猜想的结论是否正确.由于所要证明的目标不明确，要求同学们具有综合分析判断能力和科学的推断论证能力.

例2 已知：如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF.

（1）求证：BE=DF.

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形，并证明你的结论.

分析：问题（1）中，可通过Rt△ABE与Rt△ADF全等证明BE＝DF；在问题（2）中，根据条件和正方形的性质，可以得到OE=OF，OA=OM，所以四边形AEMF是平行四边形.又AE=AF，可根据菱形的判定得出四边形AEMF是菱形.

解：（1）因四边形ABCD是正方形，则AB＝AD，∠B=∠D=90°.

因AE=AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF，所以BE＝DF.

（2）因四边形ABCD是正方形，

则∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC.

因BE＝DF，所以BC-BE=DC-DF，即CE=CF.则OE=OF.

因OM=OA，所以四边形AEMF是平行四边形.

因AE=AF，所以平行四边形AEMF是菱形.

点评：结论开放类型问题探究问题的目标不具体，要求同学们能结合条件作出科学的猜想和论证.本题问题（2）中以正方形图形为知识载体创设问题探究环境，猜想的过程中也是论证与推理的统一过程.从图形中不难发现四边形AEMF是菱形，接下来要联系条件与第（1）问题结论进行论证.

三、条件与结论全开放探究类型

一个问题中条件与结论同时开放时，问题的开放度较大，对同学们能力水平要求较高，能从所给选项中组织条件，创设问题并能解决问题.

例3 如图3，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构造三个命题，并回答下列问题：

（1）构造的命题是（用序号表示）______；

（2）以上三个命题是真命题的为

（直接作答）__________；

（3）请选择一个真命题进行证明

（先写出所选命题，然后证明）.

分析：本题中有三个选项，由其中两个作为条件.第三个作为结论，共有3种组合方法，即（1）①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①；所组合的三个命题都是真命题.在命题（1）中，条件是AB=AC，AD=AE，说明△ABC，△ADE都是等腰三角形，可以通过证明△ABD，△ACE全等，得到BD=CE；在命题（2）中，条件是AB=AC，BD=CE，所以△ABC是等腰三角形，所以有∠B=∠C，可证明△ABD，△ACE全等得到AD=AE；在命题（3）中，条件是AD=AE，BD=CE，所以有∠ADB=∠AEC，所以△ADB≌△AEC，可证AB=AC.

解：（1）①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①；

（2）（1）①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①；

（3）证明命题（1）.

因AB=AC，则∠ABC=∠ACB.

因AD=AE，则∠ADC=∠AEB，则∠ADB=∠AEC.

在△ABD与△ACE中，AB=AC，∠ABC=∠ACB，∠ADB=∠AEC，则△ABD≌△ACE，则BD=CE.

点评：条件与结论同时开放问题的开放度较大，要求同学们能对所有的选项进行组合，构建问题并能推理认证.本问题中，主要依据三角形的全等来证明线段的相等，不同的构造方法证明方法也不一致，所构造的三个命题全是真命题.

开放探究型问题题型设计灵活，问题所涉及知识面广，要求同学们具有较强的解题能力和思维能力，所以此类题目已成为近年来中考试题的热点题.