☉江苏省灌南高级中学 高 娇

挖掘例题内在条件，加强习题变式训练

☉江苏省灌南高级中学 高 娇

数学解题犹如攻克堡垒，强攻难下，不如智取，巧妙迂回，避实就虚，常常可以收到令人意想不到的效果.要灵活运用迂回策略求解数学问题，关键是挖掘题目的内在条件，开拓解题的思路，并合理运用变式训练，只有这样才能进行有效学习，帮助我们摆脱解题的困境，提高解题的能力.

例1 已知适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3，求实数p的值.

分析：若采用常规解法，要先求出各个绝对值的“零根点”，再进行讨论来去掉各个绝对值符号，这样的解题过程非常烦琐.若仔细地观察分析题设条件，认真挖掘，将最大值为3换成不等式x≤3来表示，则问题立即得到简化.

解：由于x≤3，则原不等式可简化为：

令f（x）=x2-5x+p-2，由xmax=3与数形结合的思想，得f（3）=0，代入解得p=8.

变式：（1）假定此例的条件不变，则该不等式的解集是_____.

（2） 若适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最小值为-2，则实数p=______.

（3）是否存在实数p，使适合不等式|x2+2x+p|-|x-3|≥4的x的最大值为5？若存在，请求出实数p的值及此时该不等式的解集.

例2 过原点的双曲线有一个焦点为F（4，0），实轴长为2，求双曲线中心的轨迹方程.

分析：直奔终点，去求双曲线中心的轨迹方程，很难成功，不妨进一步挖掘题目的内在条件，迂回一下，先求另一焦点F′的轨迹方程，再以F′的轨迹为桥梁，实现解题的目标.

解：设双曲线另一焦点为F′（x′，y′）.

分析：直接由题设条件去求复数z的模与辐角主值的取值范围，很难下手，挖掘题目的内在条件……