☉江苏苏州市郑华学校 吕亚军

初中因式分解的拓展与研究

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一、问题的提出

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形，在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.在高中数学中，我们除了会初中课本涉及的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等，但是这点内容在高中教材和初中教材中都没有讲解，本文给予补充.

二、公式法（立方和与立方差公式）

在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

因为因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）.

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.

例1 用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

点评：（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8a3b3=（2ab）3，这里逆用了法则（ab）n=anbn；（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号.

例2 分解因式：

分析：（1）中应先提取公因式再进一步分解；（2）中提取公因式后，括号内出现a6-b6，可看成是（a3）2-（b3）2或（a2）3-（b2）3.

三、十字相乘法

1.x2+（p+q）x+pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数……