司成斌

(辽宁师范大学大学数学学院,辽宁大连 116029)

具有退化三次曲线解的Hamilton二次系统的Poincare分支

司成斌

(辽宁师范大学大学数学学院,辽宁大连 116029)

具有退化三次曲线解的Hamilton二次系统,经二次微扰后的Poincare分支,是否存在两个极限环?这是一个长期受到困扰的问题.本文证明了在特定条件下,可以分支出两个极限环.

退化三次曲线解；二次Hamilton系统；Poincare分支

1 前言

以往在探讨具有代数曲线解的Kolmogorov三次系统是否存在极限环的问题方面,已有许多结果,如文献[1-2].但对具有代数解的Hamilton二次系统的研究,尚有欠缺.文献[3]证明了具有非退化三次曲线解的轴对称三次曲线解的Hamilton二次系统经二次微扰后的Poincare分支不可能分支出两个极限环.但对于具有退化三次曲线解的Hamilton二次系统的Poincare分支,经二次扰动后是否能分支出两个极限环,一直没有结论.本文研究了具有退化三次曲线解的Hamilton二次系统˙x=-y+x2+by2,˙y=x(1-2y),将证明:当b0＜b＜+∞时,此系统经二次扰动后可以分支出两个极限环.其中b0是位于区间(77,302)内的一个定点.

考虑具有退化三次曲线解的Hamilton二次系统经二次微扰后的Poincare分支.此系统可统一写成:

2 曲线族(2)的图像

时,其图像为一条闭曲线和一条非闭曲线.如图1中虚曲线所示.它们分别交y轴于y1,y2,y3.

图1 曲线族(2)当-∞＜b＜-1时的图像

图2 曲线族(2)当-1＜b＜0时的图像

时,(2)式的图像为一条闭曲线和一条非闭曲线.如图4中的虚曲线所示.

图3 曲线族(2),当0＜b＜2时的图像

图4 曲线族(2),当2＜b＜+∞时的图像

3 系统(1)的Abel积分

系统(1)的Abel积分为:

y2和y1分别表示图1、图2、图3、图4中虚闭曲线……